CÓNICAS

Velhas Questões - Novas Abordagens

 

 

 

 

 

 

Rosa Ribeiro

Céu Silva

 

 

 

 

CMUP - DMPUP

                                                            2004/05/19

 

Na Grécia Antiga as cónicas eram obtidas seccionando um cone por um plano.

Na teoria de Menecmo são utilizados cones rectos e os planos de secção são perpendiculares a uma geratriz.

De acordo com o ângulo no vértice do cone assim a cónica obtida é:

 

oxitomo

(ângulo, no vértice do cone, agudo)

ortotomo

(ângulo, no vértice do cone, recto)

 

 

amblitomo

(ângulo, no vértice do cone, obtuso)

 

 

Apolónio estudou as cónicas numa perspectiva que se aproxima da actual.

Apolónio utiliza cones de base circular de duas folhas e planos de secção que intersectam a base do cone segundo rectas perpendiculares ao triângulo axial.

 

Conforme  posição relativa do plano secante e do triângulo axial assim:

 

elipse

(plano secante intersecta os dois lados do triângulo axial não pertencentes à base do cone)

 

parábola

(plano secante é paralelo a um lado do triângulo axial não pertencente à base do cone)

 

 

hipérbole

(plano secante intersecta um lado e o prolongamento do outro do triângulo axial, não pertencentes à base do cone)

 

 

Para cada cónica indicou um sintoma (propriedade característica da cónica) que envolve elementos dos três planos intervenientes na obtenção da cónica:

 

 

Sintoma da parábola

"Se um cone é cortado por um plano que passa pelo eixo e por um outro plano que corta a base do cone segundo uma recta perpendicular à base do triângulo passando pelo eixo; se, além disso, o diâmetro da secção é paralelo a um dos lados do triângulo que passa pelo eixo, o quadrado de qualquer recta conduzida da secção do cone paralelamente à secção comum do plano secante e da base do cone até ao diâmetro da secção equivale ao rectângulo delimitado pela recta que ela corta sobre o diâmetro, do lado do vértice da secção, e por uma certa recta cuja razão para a recta situada entre o ângulo do cone e o vértice da secção é a mesma que a do quadrado da base do triângulo passando pelo eixo para a do rectângulo delimitado pelos dois outros lados do triângulo. Chamaremos tal secção uma parábola" (Ver Eecke, Les Coniques d’Apollonius de Perge, p.21).

 

 

A propriedade definidora da parábola pode traduzir-se pela relação

       com          

       

 

(Apolónio, Cónicas, III, 2- 4, manuscrito de 1536  feito para o Papa Paulo III)

 

 

As páginas acima dizem respeito à igualdade de áreas de triângulos e quadriláteros formados por tangentes e diâmetros das cónicas e por tangentes e paralelas às tangentes.

 

 

Apolónio, Cónicas, I, 42

Quando uma recta (t) tangente a uma parábola encontra um diâmetro (em D) se do ponto de contacto (T) baixarmos um recta (r) de modo ordenado sobre o diâmetro e se de um ponto (X) qualquer da secção tirarmos uma recta paralela à tangente (t') e outra (r') paralela à recta baixada do ponto de contacto, a área do triângulo formado por estas duas últimas rectas é igual à área do paralelogramo compreendido entre a recta baixada do ponto de contacto e a recta (r') que corta a paralela a essa, pelo vértice da secção. (trad. Paul ver EecKe)

 

 

Por t  ser tangente à parábola e TE ser "conduzida de modo ordenado" é VD=DE logo ED=2VE, portanto

área TED = área VETA

Por serem T e X pontos da parábola é TE2=2pVE e CX2=2pVC, portanto

Como

                      e      

vem

logo

Como

Conclui-se que

 

 

 

Apolónio, Cónicas, III, 1

Quando rectas tangentes (BD e CE) a uma secção do cone [ou a uma circunferência do círculo] se encontram, e se, pelos seus pontos de contacto (B e E) traçarmos diâmetros (BC e ED) encontrando as tangentes (em C e D), os triângulos assim obtidos (CAB e EAD),  dispostos segundo o respectivo vértice (A), são iguais.

 

 

BZ  // CE logo BZEC é um paralelogramo de área igual à de BDZ pois DZ=2EZ (Cónicas, I,35)

Retirando ao triângulo BDZ e ao paralelogramo BZEC o quadrilátero comum BZEA, conclui-se que

CAB e EAD

 

 

latus erectum

O latus erectum, era um segmento obtido por um processo de aplicação de áreas dado por uma expressão dependente do triângulo axial e do vértice da parábola, do seguinte modo:

 

                                                        

Como interpretar geometricamente o latus erectum?

Em finais do século XVII, Jacques Bernoulli deduziu um processo simples de reconhecer geometricamente, no cone gerador, um segmento de comprimento igual ao do parâmetro, tomando como suporte a definição de parábola dada por Apolónio (Apolónio, Conicas, Livro I, proposição XI).

 

(Jacques Bernoulli, finais do séc. XVII, Obra completa, vol. I, pp. 45 e 46)

 

Novum Theorema Pro Doctrina Sectionum Conicarum

"Tomando um plano paralelo à base de um cone e situado à mesma distância do seu vértice que o plano da secção cónica, este plano intersectará o cone segundo um círculo cujo diâmetro será o latus rectum da cónica".

 

Parábola - Esboço da demonstração

^

s - plano da base do cone         a - plano de secção        ACD - triângulo axial       

 HO o eixo da parábola        AI ^ s          AB ^ HO      

Tomemos N em AI,  tal que

 Seja b um plano paralelo a s passando por N. O plano b intersecta o triângulo axial ACD nos pontos F e E, que são as extremidades do diâmetro do círculo produzido na superfície cónica pelo plano b.

Mostraremos que FE é o latus rectum.

 LA // CD, com LÎHO;  HX // CD, com XÎAD

Donde, LA=AE e HX=LA, portanto HX=AE.

AHX » AFE » ACD (ângulos iguais cada um a cada um), vem

                       

 

                                                                        (2)                        (3)                        (4)

 

De  (2) e HX=AE vem

De

e HX = AE resulta

Logo

HT=FE

 

"Apolónio e os geómetras que escreveram depois dele, deram diferentes expressões geométricas, tomadas no cone, do comprimento do latus rectum, para cada secção, mas nenhuma nos pareceu tão simples e tão elegante como a de Jacques Bernoulli." (Chasles, Aperçu Historique des Méthodes en Géométrie, p.19)

 

http://perso.wanadoo.fr/alta.mathematica/apollonius.html

 

Bibliografia