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III. A base e a rolante. O movimento inverso

       Suponhamos que o plano móvel $ {\mathscr{M}}$ ocupa sucessivamente as posições $ {\mathscr{M}}_0,{\mathscr{M}}_1,{\mathscr{M}}_2,\ldots$ no plano fixo. Como vimos a passagem de $ {\mathscr{M}}_0$ para $ {\mathscr{M}}_1$ faz-se através de uma rotação em torno de um certo ponto $ i$ de $ {\mathscr{F}}$, a passagem de $ {\mathscr{M}}_1$ para $ {\mathscr{M}}_2$ faz-se através de uma rotação em torno de um certo ponto $ i'$ de $ {\mathscr{F}}$ e assim sucessivamente. Temos desta forma uma sucessão de pontos $ i,i',i'',\dots$ em $ {\mathscr{F}}$ - os centros de rotação das sucessivas mudanças de $ {\mathscr{M}}$ - que formam uma linha poligonal no plano fixo.

        Seja $ i=I$ o primeiro centro de rotação, num instante inicial fixo, e consideremos agora os pontos $ I',I'',I'''\dots$ do plano móvel $ {\mathscr{M}}\equiv {\mathscr{M}}_0$ que, nos deslocamentos sucessivos, vêm coincidir com os pontos $ i',i'',i'''\dots$ de $ {\mathscr{F}}$. Os pontos $ I,I',I'',I'''\dots$ do plano móvel $ {\mathscr{M}}$, que identificamos com a sua posição inicial $ {\mathscr{M}}_0$, formam também uma linha poligonal, agora em $ {\mathscr{M}}\equiv {\mathscr{M}}_0$, que passa em $ i=I$.




       No primeiro deslocamento $ {\mathscr{M}}\equiv {\mathscr{M}}_0$ roda em torno de $ i=I$ e o ponto $ I'$ irá sobrepôr-se ao ponto $ i'\in {\mathscr{F}}$. No segundo deslocamento, $ {\mathscr{M}}$ roda em torno de $ i'$ e o ponto $ I''$ irá sobrepôr-se ao ponto $ i''\in {\mathscr{F}}$, e assim sucessivamente. Os segmentos $ II'$, $ I'I''$, $ I''I'''$, da poligonal móvel vão pois aplicar-se sucessivamente sobre segmentos $ ii'$, $ i'i''$, $ i''i'''$, da poligonal fixa, isto é, a poligonal $ II'I''\dots$ "rola" sobre a poligonal $ ii'i''\dots$. Temos assim um movimento em que uma linha poligonal de $ {\mathscr{M}}$ rola (sem deslizar) sobre uma outra linha poligonal de $ {\mathscr{F}}$, como se ilustra nas animações seguintes:


       Estas considerações, no argumento limite em que as diversas posições estão infinitesimalmente próximas, permitem concluir que:


O movimento contínuo de um plano móvel $ {\mathscr{M}}$ sobre um plano fixo $ {\mathscr{F}}$, pode ser gerado pelo rolamento (sem deslizamento) de uma curva do plano móvel (a rolante) sobre uma curva do plano fixo (a base).

 

       Cada uma dessas curvas pode ser definida como o lugar geométrico dos centros instantâneos de rotação, no plano móvel e no plano fixo $ {\mathscr{M}}$ e $ {\mathscr{F}}$, respectivamente.

       Uma pequena nota - aqui excluímos o caso de um movimento de translacção e o caso em que o centro instantâneo de rotação está fixo durante um intervalo de tempo finito.


    

        Até aqui o movimento foi descrito como o plano $ {\mathscr{M}}$ a deslocar-se sobre $ {\mathscr{F}}$. É claro que, para um observador que esteja rigidamente ligado ao plano $ {\mathscr{M}}$, é o plano $ {\mathscr{F}}$ que se desloca relativamente a $ {\mathscr{M}}$. Este movimento, que representamos por $ {\mathscr{F}}/{\mathscr{M}}$, diz-se, por isso, o movimento inverso do movimento $ {\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$.

       Se o movimento é contínuo, todo o ponto $ A$ de $ {\mathscr{M}}$ descreve uma curva $ { \alpha}=(A)$ em $ {\mathscr{F}}$. No movimento inverso a curva $ { \alpha}$ passará empre por $ A$.      Anàlogamente, se uma curva $ \cal C$ de $ {\mathscr{M}}$ passa sempre por um certo ponto fixo de $ {\mathscr{F}}$, este ponto, no movimento inverso, descreverá a curva $ \cal C$. Isto pode ser usado para obter um duplo traçado mecânico de curvas. Imaginemos, com efeito, um marcador fixo em $ A$. Ele traçará a curva $ { \alpha}=(A)$, mesmo quando, estando $ A$ fixo, nós deslocamos o papel relativamente ao marcador.

       É claro que os papéis, desempenhados pela rolante e pela base, trocam, quando consideramos o movimento inverso. Eis um exemplo, de interpretação imediata, e que ilustra tudo o que acabamos de dizer:


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
 
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Joao Nuno Tavares 2005-04-12