Resolução gráfica de equações algébricas

João Nuno Tavares

Construção de Lill






E. Lill publicou em 1867 outra construção gráfica, bastante diferente da apresentada por Segner, mas também muito simples, e que passámos a descrever:

  • Comecemos por convencionar o sentido positivo, como o sentido do percurso dos lados de um quadrado, como se indica na figura seguinte:



  • Posto isto, a partir de uma origem O, no plano, construímos uma linha poligonal $OA_0A_1A_2A_3\cdots$ cujos lados consecutivos são perpendiculares, e cujos comprimentos são iguais aos coeficientes (supostos reais) do polinómio:

    \begin{displaymath}p(x)= a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n\end{displaymath}
    Portanto:
    \begin{displaymath}\overline {OA_0}=a_0, \ \ \overline {A_0A_1}=a_1, \ \ \overline {A_1A_2}=a_2, \ \ \cdots\end{displaymath}
    Por convenção, o sentido positivo para o segmento representativo do coeficiente $a_{4p+i}$ é o do lado $i=0,1,2,3$ do quadrado acima indicado.

    A linha poligonal assim obtida chama-se a ortógona do polinómio $p(x)$. Assim, por exemplo, nas figuras seguintes representámos as ortógonas dos polinómios $p(x)=4x^3+2x^2+x+3$ e $q(x)=x^4-x^3+2x^2-x+3$, respectivamente.



                                              



  • Começando novamente em O, tracemos uma outra ortógona $OP_1P_2P_3P_4\cdots$, cujos vértices sucessivos $P_1,P_2,P_3,P_4\cdots$ estão, respectivamente, nos prolongamentos dos segmentos $A_0A_1$,$A_1A_2$,$A_2A_3$, $A_3A_4, \cdots$ da ortógona de $p(x)$.




  • Seja $\theta$ o ângulo $\angle(A_0OP_1)$ e designemos por:
    \begin{displaymath}\overline {OA_0}=y_0,\ \ \overline {P_1A_1}= y_1,\ \ \overline {P_2A_2}=y_2, \cdots, \overline {P_nA_n}=y_n\end{displaymath}

    Então, os ângulos $\angle(A_1P_1P_2)$, $\angle(A_2P_2P_3)$, $\angle(A_13P_3P_4), \cdots$, são todos iguais a $\theta$, e os triângulos $\triangle(A_0OP_1)$, $\triangle(A_1P_1P_2)$, $\triangle(A_2P_2P_3)$, $\triangle(A_1P_3P_4), \cdots$são todos semelhantes. Consideremos um deles, por exemplo, $\triangle(A_2P_2P_3)$, e designemos por x a tangente de $\theta$: $x=\tan\theta$. Temos então que:

    \begin{displaymath}x=\tan\theta=\frac{\overline {P_3A_2}}{\overline {P_2A_2}}=\f... ...c{y_3-a_3}{y_2}, \ \ \ \ {\hbox{isto \'e}} \ \ \ \ y_3=y_2x+a_2\end{displaymath}

    Procedendo de forma análoga para os outros triângulos, obtemos mais uma vez as equações seguintes:

    \begin{displaymath}\begin{array}{lll} y_0&=& a_0\\ y_1&=&y_0\,x+a_1\\ y_2&=... ...\\ y_n&=&a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n \end{array}\end{displaymath}


  • Concluindo:
    \begin{displaymath}\overline {P_nA_n}=y_n= a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n\end{displaymath}

A construção de Lill está esquematizada nas figuras anteriores, e ilustrada no applet seguinte, onde podemos constatar que ela continua válida para coeficientes negativos e para todo o valor de x (positivo ou negativo).



Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).



No applet, que por simplicidade está construído para uma equação do 3º grau, podemos modificar os segmentos $\overline {A_iA_{i+1}}=a_i$, e o valor de x, para obter o gráfico de $p(x)$.


Em particular, isto permite calcular as raízes da equação $p(x)=0$, que são evidentemente os valores de $x=\tan\theta$ para os quais $P_n$ coincide com $A_n$.

       



Ilustração com o Geometer Sketchpad A construção de Lill está ainda ilustrada na construção seguinte feita com o Geometer Sketchpad.