Resolução Hidrostática de Equações

Método Hidráulico


A. Demanet indicou um método de resolução de equações do 3º grau baseado num sistema de vasos comunicantes. Se introduzirmos um determinado volume de líquido num dos vasos comunicantes, a altura comum dos líquidos nesses vasos é a raíz procurada.

Este método aplica-se em particular às equações do 3º grau da forma:

\begin{displaymath}x^3\pm x=C\end{displaymath}

onde $C$ representa uma constante positiva dada.

Para resolver a equação $x^3+x=C$, tomámos como vasos comunicantes um cone (como mostra a figura) cujo raio da base é $R$ e a altura é $\overline{AB}$, encontrando-se estes na razão

\begin{displaymath}\frac{R}{\overline{AB}}=\sqrt{\frac{3}{\pi}}\end{displaymath}

e um cilindro de base igual a $1 \, cm^2$.

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A intersecção dos segmentos de recta, quando animamos o ponto H, dá-nos a solução da equação $x^3+x=C$, com c=AB=FJ= volume do cilindro, o diâmetro da base do cilindro mede 1cm.

Se vertermos $C\, cm^3$ de líquido num dos vasos comunicantes, o líquido eleva-se a uma mesma altura $h$ em cada um dos vasos; o volume do líquido contido no vaso cónico é então igual a $h^3$ e o volume do líquido contido no vaso cilíndrico é igual a $h$. Portanto:

\begin{displaymath}h^3+h=C\end{displaymath}

e a altura $h$, que pode ser medida, fornece a raíz $x=h$ da equação $x^3+x=C$.