Teoria Geral dos Planímetros

Área
algébrica

Consideremos duas curvas, $ {\mathscr{D}}$ e $ {\mathscr{C}}$, e uma barra $ DC$, de comprimento fixo $ \ell$, que se desloca continuamente no plano, de tal forma que, durante o movimento, $ D$ e $ C$ permanecem sempre em $ {\mathscr{D}}$ e $ {\mathscr{C}}$, respectivamente. A curva $ {\mathscr{D}}$ chamar-se-á a curva directriz e o ponto $ C$ o traçador da curva $ {\mathscr{C}}$.

Vamos determinar uma fórmula para a área (algébrica) varrida pela barra $ DC$, quando esta se desloca de $ DC$ para uma posição "próxima" $ D'C'$.

Mas antes, vejámos qual o significado de área algébrica. Para isso, vamos supôr que a barra $ DC$ está orientada (de $ D$ para $ C$). A área varrida por essa barra é então algébrica no sentido em que ela será afectada de um sinal $ +$ ou $ -$, conforme a orientação do seu bordo fôr positiva (sentido anti-horário) ou negativa, como se ilustra na figura 1, onde representámos as áreas positivas pela côr azul e as negativas pela côr vermelha.




Figura 1. Áreas algébricas


O deslocamento da barra, da posição $ DC$ para a posição "próxima" $ D'C'$, pode ser vista como uma sequência de três deslocamentos elementares que passámos a analisar:
Deslocamentos elementares

Figura 2. Deslocamentos elementares


  • $ \bf [E1]$. a barra desloca-se paralelamente a si própria, de $ DC$ para $ D_1C_1$, varrendo a área (algébrica) de um rectângulo de altura $ dh=\overline {DD_1}$. A área varrida é então igual a:
    $\displaystyle dS=\ell\, dh$

    Nesta fórmula, $ dh$ terá o sinal da área algébrica do rectângulo referido.

  • $ \bf [E2]$. a barra desliza segundo a sua própria direcção de $ D_1C_1$ para $ D_2C_2$, varrendo uma área nula.
  • $ \bf [E3]$. A barra roda em torno do ponto $ D_2=D'$ de um ângulo igual a $ d{ \alpha}$, varrendo a área do sector circular $ C_2D'C'$ que é igual a:
    $\displaystyle dS=\frac{\ell^2}{2}\, d{ \alpha}$


Fórmula Fundamental
Sobrepondo os três deslocamentos elementares, obtemos para a área (algébrica) varrida pela barra $ DC$, quando esta se desloca de $ DC$ para uma posição "próxima" $ D'C'$, a fórmula fundamental seguinte:
$\displaystyle \framebox{$\, dS= \ell\, dh+ \frac{\ell^2}{2}\, d{ \alpha}\,$}$ (1)

Nota:  na figura 2, está representado o caso em que $ dh$ e $ d{ \alpha}$ são ambos positivos. Nas figuras seguintes ilustram-se outras situações possíveis:

Figura 3: $ dh$ < 0 e $ d{ \alpha}$ > 0 Figura 4: $ dh$ > 0 e $ d{ \alpha}$ < 0

É importante notar que a fórmula fundamental (1) continua válida em qualquer destes casos.
Barra com roleta
Suponhámos agora que na barra $ DC$ está colocada uma pequena roda (roleta) de raio $ r$, cujo eixo é a barra $ DC$, e cujo plano de simetria, perpendicular à barra, passa no ponto $ R$. Quando a barra se move, a roleta roda em torno do seu eixo, de acordo com uma certa lei, e um contador regista o número de voltas (e fracções de volta) que ela dá.




Figura 5. Deslocamentos elementares da barra com roleta


O comprimento do arco $ ds$, percorrido pelo ponto de contacto da roleta com o plano, ou, de forma equivalente, o comprimento do arco $ ds$, percorrido pelo ponto $ R$, é claramente igual a:
 

$\displaystyle ds=dh+c\, d{ \alpha}$
onde $ c$  representa distância $ \overline {OR}$ (com sinal $ +$, se $ R$ está entre $ D$ e $ C$, e $ -$, se $ R$ está antes de $ D$, relativamente à orientação da barra $ DC$). As duas parcelas provêm dos deslocamentos elementares $ \bf [E1]$ e $ \bf [E3]$, respectivamente.

Daqui se deduz que $ dh=ds-c\, d{ \alpha}$ e, substituindo na fórmula (1), obtemos:

$\displaystyle dS= \ell\, (ds-c\, d{ \alpha}) + \frac{\ell^2}{2}\, d{ \alpha}$
ou ainda:

$\displaystyle \framebox{$\, dS= \ell\, ds + (2)




Movimento contínuo

Quando a barra se desloca continuamente de uma posição $ D_0C_0$ para uma outra posição $ D_1C_1$, para calcular a área por ela varrida, decompômos esse movimento numa sequência de movimentos infinitamente próximos, aos quais aplicámos a análise anterior.



Figura 6. Deslocamento contínuo da barra

Se $ S$ designa a área varrida pela barra quando esta se desloca de $ D_0C_0$ para $ DC$, e se $ DC$ sofre um pequeno movimento que a desloca até $ D'C'$, a área sofre um acréscimo elementar $ dS$, dado pela fórmula (2). Para ter a área total, somámos todas estas contribuições, isto é, integrámos o segundo membro de (2) desde a posição $ D_0C_0$ até à posição $ D_1C_1$. Desta forma, obtemos:

$\displaystyle \framebox{$\, {\hbox{\'area}}(D_0C_0D_1C_1)= \ell\, s + (3)

onde $ s$ designa o arco total percorrido pelo ponto de contacto da roleta com o plano, e $ { \alpha}_0,{ \alpha}_1$ representam os ângulos das posições $ D_0C_0$ e $ D_1C_1$, respectivamente, com o eixo horizontal, como se ilustra na figura 6.

O arco total $ s$ pode ler-se num contador que regista o número de voltas e fracções de volta da roleta. O ângulo $ { \alpha}_1-{ \alpha}_0$ é o ângulo das duas posições extremas da barra. Esta contribuição pode anular-se tomando $ c=\ell/2$.



Área de um contorno fechado

Suponhámos agora queremos medir a área limitada por uma curva simples fechada $ {\mathscr{C}}$ (orientada positivamente):



Figura 7. Medição da área limitada por uma curva simples fechada $ {\mathscr{C}}$
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