Planimetro

Teoria Geral dos Planímetros
João Nuno Tavares

Planímetros

Planímetros são instrumentos que servem para medir uma área plana, limitada por uma curva fechada ${\mathscr{C}}$ , que, por simplicidade, supômos que não se auto-intersecta.

O orgão principal, comum a todos os planímetros que vamos estudar, consiste de uma barra de comprimento fixo, que se desloca continuamente no plano, "varrendo" uma certa área algébrica que, por um processo apropriado, conduz à medição da área pretendida. Vejamos com detalhe o que isto significa.

Para além da curva ${\mathscr{C}}$ , que delimita a área que pretendemos medir, consideremos uma outra curva ${\mathscr{D}}$ , e uma barra $ DC$ de comprimento fixo $\ell$ , que se desloca continuamente no plano, de tal forma que, durante o movimento, $ D$ e $ C$ permanecem sempre em ${\mathscr{D}}$ e ${\mathscr{C}}$ , respectivamente.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinde

A curva ${\mathscr{D}}$ chamar-se-á a curva directriz e o ponto $ C$ o traçador da curva ${\mathscr{C}}$ .

Um dos planímetros mais conhecidos é o planímetro polar de Amsler, em que a directriz ${\mathscr{D}}$ é uma circunferência:

Áreas Algébricas

Para explicarmos como funciona um planímetro, vamos começar por determinar uma fórmula para a área (algébrica) varrida pela barra $ DC$ , quando esta se desloca de $ DC$ para uma posição "muito próxima" $ D'C'$ .

Mas antes, vejamos qual o significado de área algébrica. Para isso, vamos supôr que a barra $ DC$ está orientada (de $ D$ para $ C$ ). A área varrida por essa barra é então algébrica no sentido em que ela será afectada por um sinal $ +$ ou $ -$ , conforme a orientação do seu bordo for positiva (sentido anti-horário) ou negativa.

Na figura 1, onde representámos as áreas positivas pela côr azul e as negativas pela côr vermelha, ilustrámos as várias posições possíveis para $ DC$ e $ D'C'$ .

Deslocamentos
elementares

O deslocamento da barra, da posição $ DC$ para a posição "muito próxima" $ D'C'$ , pode ser vista como uma sequência de três deslocamentos elementares que passamos a analisar:

$\bf [E1]$ . a barra desloca-se paralelamente a si própria, de para , varrendo a área (algébrica) de um rectângulo de altura $dh=\overline {DD_1}$ . A área varrida é então igual a:
$\displaystyle dS=\ell\, dh$

Nesta fórmula, terá o sinal da área algébrica do rectângulo referido.
$\bf [E2]$ . a barra desliza segundo a sua própria direcção de para , varrendo uma área nula.
$\bf [E3]$ . A barra roda em torno do ponto de um ângulo igual a $d{ \alpha}$ , varrendo a área do sector circular que é igual a:
$\displaystyle dS=\frac{\ell^2}{2}\, d{ \alpha}$
Nesta fórmula, $d{ \alpha}$ terá o sinal da área algébrica do sector circular referido.

Fórmula
fundamental

Sobrepondo os três deslocamentos elementares, obtemos para a área algébrica elementar $ dS$ , varrida pela barra $ DC$ , quando esta se desloca de $ DC$ para uma posição "muito próxima" $ D'C'$ , a fórmula fundamental seguinte:

$\displaystyle \framebox{$\, dS= \ell\, dh+ \frac{\ell^2}{2}\, d{ \alpha}\,$}$

(1)

Nota: na figura 2, está representado o caso em que $ dh$

e $d{ \alpha}$ são ambos positivos. Nas figuras seguintes ilustram-se outras situações possíveis:

Figura:

< 0 e $d{ \alpha}$ > 0

Figura:

> 0 e $d{ \alpha}$ < 0

Barra com
roleta

Suponhamos agora que na barra $ DC$ está colocada uma pequena roda (roleta) de raio $ r$ , cujo eixo é a barra $ DC$ , e cujo plano de simetria, perpendicular à barra, passa no ponto $ R$ . Quando a barra se move, a roleta roda em torno do seu eixo, de acordo com uma certa lei, e um contador regista o número de voltas (e fracções de volta) que ela dá.

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Para os deslocamentos elementares de $ DC$ para $ D'C'$ , considerados anteriormente, o comprimento do arco elementar $ ds$ , percorrido pelo ponto de contacto da roleta com o plano, ou, de forma equivalente, o comprimento do arco $ ds$ , percorrido pelo ponto $ R$ , é claramente igual a:

$\displaystyle ds=dh+\overline {DR}\times d{ \alpha}$

(2)

onde a distância $\overline {DR}$ tem sinal $ +$

, se

está entre $ D$

, e sinal

, se

está antes de $ D$

, relativamente à orientação da barra $ DC$

As duas parcelas provêm dos deslocamentos elementares $\bf [E1]$ e $\bf [E3]$ , respectivamente. Desprezamos o arco percorrido por $ R$ no deslocamento elementar $\bf [E2]$ , uma vez que este não produz nem área nem rotação da roleta.

Figura: Deslocamentos elementares da barra com roleta

Daqui se deduz que $dh=ds-\overline {DR}\times d{ \alpha}$ e, substituindo na fórmula (1), obtemos:

$\displaystyle dS= \ell\, (ds-\overline {DR}\times d{ \alpha}) + \frac{\ell^2}{2}\, d{ \alpha}$

ou ainda:

$\displaystyle \framebox{$\, dS= \ell\, ds + \left(\frac{\ell^2}{2}-\overline {DR}\times\ell \right)\, d{ \alpha}\,$}$

(3)

Movimento contínuo

Para calcular a área varrida pela barra, quando esta se desloca continuamente de uma posição $ D_0C_0$ para uma outra posição $ D_1C_1$ , decompômos esse movimento numa sequência de movimentos infinitamente próximos, aos quais aplicamos a análise anterior.

Se $ S$ designa a área varrida pela barra quando esta se desloca de $ D_0C_0$ para $ DC$ , e se $ DC$ sofre um pequeno movimento que a desloca até $ D'C'$ , a área sofre um acréscimo elementar $ dS$ , dado pela fórmula (3). Para ter a área total, somamos todas estas contribuições, isto é, integramos o segundo membro de (3) desde a posição até à posição $ D_1C_1$ . Desta forma, obtemos:

$\displaystyle \framebox{$\, {\hbox{\'area}}(D_0C_0D_1C_1)= \ell\, s + \left(\frac{1}{2}\ell^2-\overline {DR}\times\ell\right)\, ({ \alpha}_1-{ \alpha}_0)\,$}$

(4)

onde

designa o arco total percorrido pelo ponto de contacto da roleta com o plano, e ${ \alpha}_0,{ \alpha}_1$ representam, respectivamente, os ângulos das posições $ D_0C_0$

com o eixo horizontal, como se ilustra na figura seguinte.

O arco total $ s$ pode ler-se num contador que regista o número de voltas e fracções de volta da roleta. O ângulo ${ \alpha}_1-{ \alpha}_0$ é o ângulo das duas posições extremas da barra.

Área de um
contorno fechado

Suponhamos agora queremos medir a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{C}})$ , limitada por uma curva simples fechada ${\mathscr{C}}$ (orientada positivamente), e suponhamos ainda que a directriz ${\mathscr{D}}$ não intersecta a área a medir, como na figura seguinte.

A medição da área faz-se então, muito simplesmente, fazendo o traçador $ C$

pecorrer a curva ${\mathscr{C}}$ , uma única vez no sentido positivo. Após essa volta, a barra $ DC$

regressa pois à sua posição inicial. Se, além disso (e este é um ponto essencial!), o ponto $ D$

faz apenas um movimento de ida e volta sobre ${\mathscr{D}}$ , de tal forma que a barra não roda sobre si própria, então ter-se-á que:

$\displaystyle { \alpha}_1-{ \alpha}_0=0$

Sendo assim, a segunda parcela da soma, no segundo membro da fórmula (4), anula-se, e a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{C}})$ é dada por:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{C}})=\ell\times s$

(5)

Planímetro
Linear

Para ilustrar de imediato como isto se processa, observemos o applet seguinte, onde se ilustra um planímetro linear, em que a directriz ${\mathscr{D}}$ é uma linha recta.

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Para animar este applet, deve clicar sucessivamente nos botões de animação pela ordem indicada. Se pretender repetir a visualização faça "reload" para obter a configuração inicial.

As áreas varridas pela barra nas quatro primeiras animações são positivas (azuis), e as varridas nas três últimas é negativa (vermelha). Observe bem o cancelamento das áreas positivas e negativas para que o resultado final seja apenas a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{C}})$ que se pretende medir!...

Finalmente
a medição

Retomemos a fórmula (5) para a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{C}})$ , obtida sob a hipótese de que a barra $ DC$ não roda sob si própria (não esqueça...):

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{C}})=\ell\times s$

Como o arco

percorrido pelo ponto de contacto $ R$

da roleta com o plano é dado por:

$\displaystyle s$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \hbox{per{\'\i}metro da roleta}\times\hbox{n\'umero de voltas}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi r\times n$	(6)

(

representa o número de voltas, ou frações de volta, que a roleta faz), a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{C}})$ é dada por:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{C}})=2\pi r\ell n$

Portanto, se construirmos o planímetro de tal forma que:

$\displaystyle 2\pi r\ell=1$

vem finalmente que:

$\displaystyle {\mathscr{A}}({\mathscr{C}})=n$

(7)

Se o planímetro dispuser de um contador de voltas da roleta, a área ${\mathscr{A}}({\mathscr{C}})$ lê-se directamente nesse contador.

Nos dois planímetros mais conhecidos, a curva directriz ${\mathscr{D}}$ tem a forma de uma circunferência, no planímetro de Amsler, e de uma recta, no planímetro linear. Este último já foi analisado e ilustrado num applet anterior.

No planímetro de Amsler, o ponto $ D$ da barra é obrigado a percorrer um arco de circunferência, recorrendo a uma outra barra $ OA$ de comprimento igual ao raio dessa circunferência.

No applet seguinte, com a ajuda do rato, faça $ C$ percorrer uma única vez (no sentido anti-horário) a curva ${\mathscr{C}}$ , para ter uma ideia de como funciona o planímetro de Amsler. É claro que deve imaginar a roleta a rolar...

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Quando a curva ${\mathscr{C}}$ é muito grande relativamente às dimensões do aparelho, podemos colocar a circunferência directriz ${\mathscr{D}}$ , no interior de ${\mathscr{C}}$ , como se ilustra no applet seguinte.

APPLET CINDERELLA (em construção)

Quando fazemos o traçador $ C$

percorrer uma única vez (no sentido anti-horário) a curva ${\mathscr{C}}$ , a área varrida pela barra $ DC$

é a área da coroa compreendida entre a circunferência e a curva ${\mathscr{C}}$ . Agora acontece que a barra dá uma volta sobre si própria e portanto:

$\displaystyle { \alpha}_1-{ \alpha}_0=2\pi$

Daí que, aplicando a fórmula (4), se obtenha desta vez:

$\displaystyle \hbox{\'Area da coroa}=\ell \, s+\left(\frac{1}{2}\ell^2-\overline {DR}\times\ell\right)\,2\pi$

(8)

isto é:

$\displaystyle S={\mathscr{A}}({\mathscr{C}})=\ell\,s+\left(\frac{1}{2}\ell^2-\overline {DR}\times\ell\right)\,2\pi+\pi\overline {OD}^2$

(9)

A quantidade:

$\displaystyle \ell\,s=2\pi r\ell n$

é, como antes, lida no contador de voltas. A quantidade:

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\ell^2-\overline {DR}\times\ell\right)\,2\pi+\pi\overline {OD}^2$

é uma constante que pode ser ajustada dimensionando convenientemente as componentes do aparelho.

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Joao Nuno Tavares 2005-03-22