ELIPSES


Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante (igual a 2a).


No applett da esquerda pode variar, com o rato, a distância focal 2c e o eixo maior 2a. É claro que 2a>2c.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).



A elipse tem por eixos a recta determinada pelos focos F e F', e a perpendicular a esta recta que passa no ponto médio O do segmento FF'. O diz-se o centro da elipse. AA' é o seu eixo maior. BB' o eixo menor. Os pontos A,A'.B e B' são os vértices da elipse. No triângulo rectângulo OFB, tem-se que |OF|=c, |BF|=a e |OB|=b.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

    No applett pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição de O e do eixo maior.




     Os círculos directores da elipse são os dois círculos que têm raio 2a e centro em cada um dos focos. A elipse é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um dos focos e do círculo director correspondente ao outro foco.



Nos applets representa-se o círculo director de centro F' e raio 2a. A distância |PD| é sempre igual à distância |PF|, para todo o ponto P da elipse.

    Para construir a elipse conhecendo os seus focos F e F' e o círculo director de centro F' e raio 2a, procede-se da seguinte forma:

    1. traça-se um raio qualquer F'D
    2. une-se D com F
    3. traça-se a mediatriz de DF
    4. corta-se o raio F'D por esta mediatriz. O ponto P assim obtido pertence à elipse (ver o applett da esquerda).  De facto, |PD|=|PF| e portanto |F'P|+|PF|=  |F'P|+|PD|=2a.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).



Propriedade óptica da elipse

A tangente à elipse, num ponto qualquer P, faz ângulos iguais com os raios vectores de P, relativos aos focos.



 No applett da esquerda, os ângulos assinalados a vermelho são iguais. No applett pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição do ponto P. No applett da direita, vê-se um bilhar elíptico - quando as bolas saiem de um dos focos e são reflectidas pela parede do bilhar, dirigem-se para o outro foco.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).




O círculo principal de uma elipse é o círculo de centro O (o centro da elipse) e raio a (=semieixo maior).

Teorema de La Hire

O círculo principal de uma elipse é o lugar geométrico das projecções dos focos sobre as tangentes.



No applett da esquerda pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição do ponto P. Os pontos Q e Q' são as projecções (ortogonais) dos focos F e F', respectivamente, sobre a tangente à elipse em P.

     Corolário: O produto das distâncias dos focos de uma elipse a uma tangente qualquer é constante:  |F'Q'|.|FQ|=b^2=constante.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).




Teorema de Poncelet:


      1º. as tangentes a uma elipse, traçadas a partir de um ponto exterior M, fazem ângulos iguais com as rectas que unem M aos dois focos.

         2º. a recta que une um
ponto exterior M a um dos focos é a bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores que unem esse foco aos dois pontos de contacto.



Nos appletts pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição do ponto M. Os pontos C e C' são os pontos de contacto das tangentes à elipse tiradas a partir de M.

    No applett da esquerda os ângulos C'MF' e CMF são iguais.  No applett da direita, os ângulos C'F'M e CF'M são iguais, isto é, F'M é bissectriz do ângulo C'F'C.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).




 Uma elipse pode ser gerada pelo movimento de um ponto M que percorre o círculo principal. Para determinar o ponto correspondente P da elipse, traçamos o raio OM, intersectámo-lo com o círculo centrado em O e de raio b, obtendo assim o ponto Q, e traçamos as paralelas aos eixos a partir desse ponto Q.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).




Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a um ponto fixo F (foco) e a uma recta fixa d (directriz), que não contem F, é constante. A esta constante chama-se a excentricidade e da elipse. 0<e<1.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
    
     No applett pode variar, com o rato, a excentricidade e, bem como a distância do foco à directriz. A razão distância(P,F):distância(P;d) é constante e igual a e.
     Note que, quando e=1, obtem-se uma parábola. A elipse tem dois focos e duas directrizes, situadas simetricamente relativamente ao seu centro.













João Nuno Tavares
(última actualização: 18 de Abril de 2006)