ELIPSES


Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante (igual a 2a).


No applett da esquerda pode variar, com o rato, a distância focal 2c e o eixo maior 2a. É claro que 2a>2c.


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A elipse tem por eixos a recta determinada pelos focos F e F', e a perpendicular a esta recta que passa no ponto médio O do segmento FF'. O diz-se o centro da elipse. AA' é o seu eixo maior. BB' o eixo menor. Os pontos A,A'.B e B' são os vértices da elipse. No triângulo rectângulo OFB, tem-se que |OF|=c, |BF|=a e |OB|=b.

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    No applett pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição de O e do eixo maior.




     Os círculos directores da elipse são os dois círculos que têm raio 2a e centro em cada um dos focos. A elipse é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um dos focos e do círculo director correspondente ao outro foco.



Nos applets representa-se o círculo director de centro F' e raio 2a. A distância |PD| é sempre igual à distância |PF|, para todo o ponto P da elipse.

    Para construir a elipse conhecendo os seus focos F e F' e o círculo director de centro F' e raio 2a, procede-se da seguinte forma:

    1. traça-se um raio qualquer F'D
    2. une-se D com F
    3. traça-se a mediatriz de DF
    4. corta-se o raio F'D por esta mediatriz. O ponto P assim obtido pertence à elipse (ver o applett da esquerda).  De facto, |PD|=|PF| e portanto |F'P|+|PF|=  |F'P|+|PD|=2a.


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Propriedade óptica da elipse

A tangente à elipse, num ponto qualquer P, faz ângulos iguais com os raios vectores de P, relativos aos focos.



 No applett da esquerda, os ângulos assinalados a vermelho são iguais. No applett pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição do ponto P. No applett da direita, vê-se um bilhar elíptico - quando as bolas saiem de um dos focos e são reflectidas pela parede do bilhar, dirigem-se para o outro foco.


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O círculo principal de uma elipse é o círculo de centro O (o centro da elipse) e raio a (=semieixo maior).

Teorema de La Hire

O círculo principal de uma elipse é o lugar geométrico das projecções dos focos sobre as tangentes.



No applett da esquerda pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição do ponto P. Os pontos Q e Q' são as projecções (ortogonais) dos focos F e F', respectivamente, sobre a tangente à elipse em P.

     Corolário: O produto das distâncias dos focos de uma elipse a uma tangente qualquer é constante:  |F'Q'|.|FQ|=b^2=constante.


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Teorema de Poncelet:


      1º. as tangentes a uma elipse, traçadas a partir de um ponto exterior M, fazem ângulos iguais com as rectas que unem M aos dois focos.

         2º. a recta que une um
ponto exterior M a um dos focos é a bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores que unem esse foco aos dois pontos de contacto.



Nos appletts pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode mudar ainda a posição do ponto M. Os pontos C e C' são os pontos de contacto das tangentes à elipse tiradas a partir de M.

    No applett da esquerda os ângulos C'MF' e CMF são iguais.  No applett da direita, os ângulos C'F'M e CF'M são iguais, isto é, F'M é bissectriz do ângulo C'F'C.


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 Uma elipse pode ser gerada pelo movimento de um ponto M que percorre o círculo principal. Para determinar o ponto correspondente P da elipse, traçamos o raio OM, intersectámo-lo com o círculo centrado em O e de raio b, obtendo assim o ponto Q, e traçamos as paralelas aos eixos a partir desse ponto Q.


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Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a um ponto fixo F (foco) e a uma recta fixa d (directriz), que não contem F, é constante. A esta constante chama-se a excentricidade e da elipse. 0<e<1.

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     No applett pode variar, com o rato, a excentricidade e, bem como a distância do foco à directriz. A razão distância(P,F):distância(P;d) é constante e igual a e.
     Note que, quando e=1, obtem-se uma parábola. A elipse tem dois focos e duas directrizes, situadas simetricamente relativamente ao seu centro.


João Nuno Tavares
(última actualização: 18 de Abril de 2006)