HIPÉRBOLES


Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante em valor absoluto (igual a 2a).

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   No applett pode variar, com o rato, a distância focal 2c e a distância 2a entre os vértices A e A'. É claro que 2a<2c.

   A hipérbole tem por eixos de simetria a recta que une os dois focos e a perpendicular a esta recta que passa no ponto médio O entre os focos. O ponto O diz-se o centro da hipérbole. O eixo FF' diz-se o eixo transverso e o eixo BB' o eixo não transverso. No triângulo assinalado tem-se que |OA|=a, |OC=|OF|=c e |OB|=b. As rectas vermelhas são as assímptotas da hipérbole.

   Para construir pontos da hipérbole procede-se da seguinte forma: tomamos um ponto qualquer D sobre o eixo transverso; traçamos então dois círculos - um com centro em F e raio |DA| e outro com centro em F' e raio |DA'|. A intersecção destes dois círculos dá um ponto sobre a hipérbole.



Uma hipérbole pode ser construída com uma régua e com um fio como se indica no applett.

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Os círculos directores da hipérbole são os dois círculos que têm raio 2a e centro em cada um dos focos. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um dos focos e do círculo director correspondente ao outro foco.



    Nos applets representa-se o círculo director de centro F' e raio 2a. A distância |PQ| é sempre igual à distância |PF|, para todo o ponto P da hipérbole.

    Para construir a
hipérbole conhecendo os seus focos F e F' e o círculo director de centro F' e raio 2a, procede-se da seguinte forma:

    1. traça-se um raio qualquer F'Q
    2. une-se Q com F
    3. traça-se a
mediatriz de QF
    4. corta-se o raio F'Q por esta mediatriz. O ponto P assim obtido pertence à
hipérbole (ver o applett da esquerda).  De facto, |PQ|=|PF| e portanto |PF'-PF| = |PF'-PQ|=2a.


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Propriedade óptica da hipérbole 

A tangente à hipérbole, num ponto qualquer P, faz ângulos iguais com os raios vectores de P, relativos aos focos.



    No applett da esquerda, os ângulos assinalados são iguais. No applett pode variar, com o rato, 2a e 2c. Pode mudar ainda a posição do ponto P. No applett da direita, vê-se um bilhar hiperbólico - quando uma bola se dirige para um dos focos é reflectida pela parede do bilhar, dirigindo-se para o outro foco.


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O círculo principal de uma hipérbole é o círculo de centro O (o centro da elipse) e raio a (=semieixo transverso).

Teorema de La Hire

O círculo principal de uma hipérbole é o lugar geométrico das projecções dos focos sobre as tangentes.

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  No applett pode variar, com o rato, o eixo transverso 2a, e a distância focal 2c. Pode mudar ainda a posição do ponto P. Os pontos Q e Q' são as projecções (ortogonais) dos focos F e F', respectivamente, sobre a tangente à hipérbole em P.

     Corolário: O produto das distâncias dos focos de uma hipérbole a uma tangente qualquer é constante:  |F'Q'|.|FQ|=b^2=constante.



Teorema de Poncelet

      1º. as tangentes a uma hipérbole, traçadas a partir de um ponto exterior M, fazem ângulos iguais com as rectas que unem M aos dois focos.

         2º. a recta que une um ponto exterior M a um dos focos é a bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores que unem esse foco aos dois pontos de contacto.


   Nos appletts pode variar, com o rato, o eixo transverso a,  e a distância focal 2c. Pode mudar ainda a posição do ponto M. Os pontos C e C' são os pontos de contacto das tangentes à hipérbole tiradas a partir de M.

    No applett da esquerda os ângulos C'MF' e CMF são iguais.  No applett da direita, os ângulos C'F'M e CF'M são iguais, isto é, F'M é bissectriz do ângulo C'F'C.


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Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a um ponto fixo F (foco) e a uma recta fixa d (directriz), que não contem F, é constante. A esta constante chama-se a excentricidade e.  e>1.

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     No applett pode variar, com o rato, a excentricidade e, bem como a distância do foco à directriz. A razão distância(P,F):distância(P;d) é constante e igual a e. A hipérbole tem dois focos e duas directrizes, situadas simetricamente relativamente ao seu centro.


João Nuno Tavares
(última actualização: 18 de Abril de 2006)