O que é a nomografia?




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IV. Nomogramas rectílineos


       Consideremos de novo o nomograma de cruzamento de uma equação com três variáveis

$\displaystyle F(x,y,z)=0$ (9)

construído com três famílias de curvas definidas implicitamente pelas equações:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{llr} { \alpha}(X,Y;x)&=& 0 \\ (10)




       Como vimos, se eliminarmos $ X$ e $ Y$ nestas três equações, obtemos a equação dada $ F(x,y,z)=0$.

       Suponhamos agora que essas três famílias são famílias de rectas:

$\displaystyle \framebox{$ \ \ \left\{\begin{array}{lllll} { \alpha}(X,Y;x)&=& a... (11)

       Eliminando $ X$ e $ Y$ nestas três equações, obtemos a equaçãodada $ F(x,y,z)=0$, que é agora do tipo:
$\displaystyle \framebox{$ \ \ (12)

que traduz a condição de que, para cada $ x,y,z$ fixos, as três rectas correspondentes se intersectam num mesmo ponto $ (X,Y)$, isto é, que o sistema linear (11) tem solução.

       Uma classe especial de equações do tipo (12) é dada por:

$\displaystyle F(x,y,z)=
isto é:
$\displaystyle \framebox{$ \ \ \ell(x)a(z)+m(y)b(z)+c(z)\, =\, 0\ \ $}$ (13)

a que correspondem as famílias de rectas:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{rll } X &=& \ell(x) \\ (14)

       Neste caso, estámos a usar escalas funcionais $ X=\ell(x)$ e $ Y=m(y)$, respectivamente nos eixos dos $ X$ e $ Y$.


       É claro que a equação cúbica (5) é do tipo (13), com $ \ell(x)=x, m(y)=y$ e $ a(z)=z,b(z)=1,. Um outro exemplo do tipo (13) é a equação:

$\displaystyle \framebox{$ \ \ x^n+y^n-z^n=0 \ \ $}$ (15)

para $ x,y,z$ positivos, e $ n\geq 2$ inteiro. Aqui $ \ell(x)=x^n, m(y)=y^n$ e $ a(z)=1,b(z)=1,. O nomograma correspondente (neste caso paralelo), é construído com as três famílias de rectas paralelas:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{rll } X &=& x^n \\ (16)



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Joao Nuno Tavares 2005-03-28