O que é a Nomografia?

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       Consideremos dois planos $ {\mathscr{P}}$ e $ {\mathscr{P}}^*$. Uma dualidade ou correlação entre eles é uma correspondência do tipo:

 

$\displaystyle \hbox{Ponto}\ \ P\in {\mathscr{P}}\ \ \rightleftarrows \ \

que verifica as propriedades indicadas no quadro seguinte.

Plano $ {\mathscr{P}}$   Plano dual $ {\mathscr{P}}^*$
Ponto $ P=(x,y)$ $ \rightleftarrows$ Recta $ { p}=(u=x,v=y)$
Recta $ \ell$ $ \rightleftarrows$ Feixe de rectas $ \thickapprox$ ponto suporte $ L$
$ ax+by+c=0$   $ au +bv+c=0$
Recta que une dois pontos $ \rightleftarrows$ Ponto intersecção de duas rectas
3 rectas intersectam-se num ponto $ \rightleftarrows$ 3 pontos estão alinhados
    sobre uma mesma recta
Ponto intersecção de duas rectas $ \rightleftarrows$ Recta que une dois pontos
    $ \thickapprox$ recta comum a dois feixes
Curva pontual $ \rightleftarrows$ Família a um parâmetro de rectas
$ {\phi}(x,y)=0$   $ \thickapprox$ envolvente $ {\phi}(u,v)=0$
Recta tangente à curva num ponto $ P$ $ \rightleftarrows$ Ponto característico da recta dual a $ P$
Curvas intersectam-se num ponto $ \rightleftarrows$ Recta tangente comum às curvas duais


       A realização concreta desta dualidade far-se-á da seguinte forma - no plano $ {\mathscr{P}}$ escolhemos um referencial cartesiano $ OXY$, e no plano $ {\mathscr{P}}^*$ escolhemos duas rectas paralelas orientadas e uma terceira que intersecte ambas nos pontos $ A$ e $ B$. Ao ponto $ P\in {\mathscr{P}}$, de coordenadas $ (x,y)$, associámos a recta $ p$, de $ {\mathscr{P}}^*$, que une os pontos $ M$ e $ N$, onde $ AM=u=x$ e $ BN=v=y$ (ambos marcados de acordo com a orientação definida em cada recta). $ (u,v)$ dizem-se as coordenadas paralelas da recta $ p$.

       No applet seguinte, pode variar com o rato a posiçãodo ponto $ P\in {\mathscr{P}}$ e apreciar a correspondente variação da recta dual $ p$ em $ {\mathscr{P}}^*$.

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Proposição 5.1   ... Quando o ponto $ P=(x,y)\in {\mathscr{P}}$ percorre a recta $ r$ de $ {\mathscr{P}}$, de equação:
$\displaystyle ax+by+c=0$
a recta $ p=(u=x,v=y)$, em $ {\mathscr{P}}^*$, roda em torno de um ponto fixo $ R\in.

       Este ponto $ R\in diz-se o dual da recta $ r$ de $ {\mathscr{P}}$. Como $ (u,v)$ satisfazem a equação:

$\displaystyle \framebox{$\ \ au+bv+c=0 \ \ $}$ (17)

esta diz-se a equação tangencial do ponto $ R$. Simbòlicamente:

$\displaystyle \framebox{$\ \ P\in r \ \ \ \rightleftarrows \ \ \ p \ni R \ \ $}$ (18)


      No applet seguinte, pode variar com o rato a posiçãoda recta $ r$ (azul) mexendo nas intersecções com os eixos coordenados (os pontos vermelho e verde). Pode depois fazer variar a posição do ponto $ P\in r$ para constatar o significado da proposição anterior.

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       O ponto $ R$ é evidentemente o ponto de intersecção das rectas de coordenadas paralelas $ (u=0,v=-c/b)$ e $ (u=-c/a,v=0)$, que correspondem aos pontos de intersecção da recta $ r$ com os eixos $ OX$ e $ OY$, respectivamente.

       Para demonstrar a proposição anterior, e também para localizar a posição dos pontos em $ {\mathscr{P}}^*$, consideremos um referencial $ CX^*Y^*$, no plano $ {\mathscr{P}}^*$, como se indica no applet anterior.

       Neste referencial, a recta $ p$, de coordenadas paralelas $ (u,v)$, é a recta que une os pontos $ M(-1,u)$ e $ N=(1,v)$, e portanto tem por equação:

$\displaystyle \det\left[\begin{array}{ccc} X^* & Y^* & 1\\
Mas:
$\displaystyle \det\left[\begin{array}{ccc} X^* & Y^* & 1\\
(substituímos a segunda linha pela que se obtem multiplicando-a por $ a$ e somando-a à terceira linha multiplicada por $ b$). Como $ au+bv=-c$, concluímos que a recta passa sempre pelo ponto $ R$ de coordenadas:
$\displaystyle X^*$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{a-b}{a+b}$  
$\displaystyle Y^*$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \frac{c}{a+b}$ (19)

que são portanto as coordenadas, relativas ao referencial $ CX^*Y^*$, do ponto cuja equação tangencial é $ aU+bV+c=0$.

       Se uma curva $ {\mathscr{C}}$, no plano $ {\mathscr{P}}$, é dada implicitamente por:

$\displaystyle {\phi}(x,y)=0$ (20)

a equação da recta tangente a $ {\mathscr{C}}$, num dos seus pontos $ P(x,y)$, i.e., $ {\phi}(x,y)=0$, é:
 
$\displaystyle (X-x ,Y-y)\cdot \left({\phi}'_x(x,y), {\phi}'_y(x,y) \right)=0$
isto é:
$\displaystyle {\phi}'_x\,X+{\phi}'_y\,Y+(- {\phi}'_x\,x-{\phi}'_y\,y)=0$ (21)

onde $ (X,Y)$ são as coordenadas de um ponto corrente sobre essa recta tangente, que notámos por $ t(x,y)$.

       Por dualidade, o ponto $ P(x,y)\in {\mathscr{C}}$, que verifica a equação $ {\phi}(x,y)=0$, corresponde à recta $ p(u,v)\in {\mathscr{P}}^*$, onde $ u=x$ e $ v=y$. Portanto as coordenadas $ (u,v)$ desta recta satisfazem a equação $ {\phi}(u,v)=0$. A pontual $ {\mathscr{C}}$, no plano $ {\mathscr{P}}$, corresponde assim a uma família de rectas $ (u,v)$, no plano $ {\mathscr{P}}^*$, que satisfazem a equação $ {\phi}(u,v)=0$.

       Quanto à recta tangente a $ {\mathscr{C}}$, no ponto $ P(x,y)$, recta que notámos por $ t(x,y)$, e cuja equação é (22), ela corresponde por dualidade ao ponto de $ {\mathscr{P}}^*$ de equação:

$\displaystyle {\phi}'_u\,U+{\phi}'_v\,V+(- {\phi}'_u\,u-{\phi}'_v\,v)=0$ (22)

       Este ponto $ T(u,v)$ pertence à recta $ p(u,v)\in {\mathscr{P}}^*$, e diz-se o ponto característico dessa recta. O ponto $ T(u,v)$ descreve pois uma pontual $ {\mathscr{C}}^*$, no plano $ {\mathscr{P}}^*$, a que chamámos a curva dual à curva $ {\mathscr{C}}$ e que não é mais do que a envolvente da família de rectas $ p(u,v)$. A curva dual pode reduzir-se a um ponto, como por exemplo acontece quando se $ {\mathscr{C}}$ é uma recta em $ {\mathscr{P}}$.

       No applet seguinte pode apreciar a descrição pontual de uma cónica (uma elipse) em $ {\mathscr{P}}$ e a decrição tangencial da cónica dual em $ {\mathscr{P}}^*$. Pode variar com o rato a configuração da cónica.

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Joao Nuno Tavares 2005-03-28