Sólidos Platónicos |
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O que é a dualidade? |
V (vértices) |
A (arestas) | F (faces) | V-A+F=X(S) |
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Octaedro | 6 |
12 | 8 | 2 |
Cubo | 8 | 12 | 6 | 2 |
Tetraedro | 4 | 6 | 4 | 2 |
Dodecaedro | 20 | 30 | 12 | 2 |
Icosaedro | 12 | 30 | 20 | 2 |
Prova de Cauchy da fórmula de Euler V-A+F=2 |
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V - A + F = 1
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V - (A - 1) + (F - 1) = V - A + F
a soma V - A + F mantem-se inalterada. |
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(V - 1) - (A - 2) + (F - 1) = V - A + F
a soma V - A + F mantem-se mais uma vez inalterada. |
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V - A + F = 3 - 3 + 1 = 1
o que termina a demonstração.
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A fórmula de Euler não
é válida para superfícies poliedrais com buracos! Por exemplo: |
V-A+F = 16-32+16 = 0 |
V-A+F = 28-62+32 = - 2 |
Definamos a curvatura de Gauss K(v),
de cada
vértice v do poliedro,
através de: Existem três tipos de vértices:
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Teorema
de Descartes-Gauss-Bonnet
onde K = Curvatura total = Soma das curvaturas K(v) |