Relatividade Geral - Uma introdução

João Nuno Tavares

CMUP

Centro de Matemática da Universidade do Porto

Contents

• Curvatura
• Princípio da Relatividade Geral
• Princípio de Mach
• Princípio da Equivalência
  • Introdução
  • Massa de inércia e massa gravitacional
  
  
• Consequências do Princípio de Equivalência
  • "Redshift" gravitacional
  • Dilatação gravitacional do tempo
  • Deflexão da luz num campo gravitacional
  
  
• O disco rotativo
• Porquê espaços-tempo curvos? Gravidade como curvatura do espaço-tempo
• Princípio da Covariância Geral
• Bibliography

Princípio da Relatividade Geral

Recorde que um dos princípios em que se baseia a teoria da Relatividade Restritaé o chamado:

Princípio da relatividade [Galileu] ... Dois observadores que se movem com velocidade uniforme, um relativamente ao outro, devem formular as leis da natureza exactamente da mesma forma. Em particular, nenhum observador de inércia pode distinguir entre repouso absoluto e movimento absoluto, com apelo exclusivo às leis da natureza. Não existe pois movimento absoluto, mas apenas movimento relativo (de um observador relativamente a um outro).

Portanto, os referenciais de inércia têm um estatuto especial em Relatividade Restrita. Todos os referenciais de inércia movem-se com velocidade uniforme uns relativamente aos outros. Se ${\mathscr{R}}$ é um referencial de inércia e se ${\mathscr{R}}'$ acelera relativamente a ${\mathscr{R}}$ (a velocidade de ${\mathscr{R}}'$ , relativa a ${\mathscr{R}}$ , varia), então ${\mathscr{R}}'$ não é um referencial de inércia.

As leis da Física são mais complicadas em ${\mathscr{R}}'$ . Observadores em ${\mathscr{R}}'$ sentem forças fictícias, ditas forças de inércia, que, numa primeira análise, não podem ser atribuídas a qualquer agente directo. Num referencial acelerado ${\mathscr{R}}'$ , a lei de inércia não é válida - a velocidade de um corpo varia embora não haja qualquer "força real" que sobre ele actua!

Figure: num referencial não inercial, os corpos estão sujeitos a pseudo-forças (forças de inércia) que, em princípio, não podem ser atribuídas a qualquer agente directo.

Vejamos um exemplo concreto:

• Exemplo ... Vejamos o que acontece com a segunda lei de Newton:
  "Força = Massa $\times$ aceleração"

  num referencial não inercial ${\mathscr{R}}'$ , que se move com aceleraçãolinear constante e igual a $a$ , relativamente a um referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ .

  
  

  Suponhamos que o movimento se faz ao longo do eixo dos $xx$ e que os restantes eixos se mantêm sempre paralelos. A relação entre as coordenadas dos dois referenciais é dada por:

  $$\left\{\begin{array}{lll} t&=& t'\\ x&=& x'+s\\ y&=&y'\\ z&=&z' \end{array}\right.$$ (1)

  
  

  APPLETT (ja esta feito)

  
  

  Derivando duas vezes relativamente a $t$ (ou $t'$ ), obtemos:

  $$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d^2x'}{dt^2}+\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{d^2x'}{dt^2}+a$$ (2)

  
  

  Suponhamos que uma partícula, de massa $m$ , se move ao longo do eixo dos $xx$ , sob influência de uma força constante ${\bf F}=(F,0,0)$ . A segunda lei de Newton, em ${\mathscr{R}}$ , é:

  $$F=m\frac{d^2x}{dt^2}$$ (3)

  
  
  Substituindo nesta equação(2), obtemos:
  $$F=m\,\left(\frac{d^2x'}{dt^2}+a\right)$$
  Do ponto de vista do referencial ${\mathscr{R}}'$ , podemos escrever esta equação na forma:

  $$F-ma=m\frac{d^2x'}{dt^2}$$ (4)

  
  
  o que significa que, comparando com ${\mathscr{R}}$ , o observador ${\mathscr{R}}'$ detecta uma redução da força que actua sobre a partícula, de uma quantidade igual a $ma$ . Esta força adicional é a chamada força de inércia. Note que ela é proporcional à massa.

  Portanto, num referencial não inercial, os corpos estão sujeitos a pseudo-forças (forças de inércia) que, em princípio, não podem ser atribuídas a qualquer agente directo (figura 1).

Em Relatividade Restrita postula-se que as leis da Física devem ter a mesma forma em todos os referenciais de inércia. Estes referenciais desempenham pois um papel privilegiado relativamente a referenciais acelerados. No entanto, este estatuto especial dos referenciais de inércia era contrário à visão que Einstein tinha da realidade! Porque motivo a Natureza atribuiria um papel de privilégio aos referenciais de inércia? O facto de estar em movimento uniforme depende aliás do estado de movimento de quem observa.

As leis da Física devem pois poder exprimir-se sob a mesma forma não importa qual o tipo de referencial. Nas próprias palavras de Einstein: "Que é que a Natureza tem a ver com os sistemas de coordenadas e respectivos estados de movimento? Afinal não sômos nós que os introduzimos para descrever matematicamente os fenómenos?".

Na sua teoria da Relatividade Geral, Einstein generaliza o Princípio da Relatividade de Galileu, enunciando o seu:

Princípio da Relatividade Geral [Einstein] ... Todos os referenciais, qualquer que seja o seu estado de movimento, devem ser equivalentes para exprimir as leis da Natureza.

É claro que esta é uma ideia completamente revolucionária, que parece contrariar algumas observações familiares. Quando estamos num carro que acelera somos empurrados para trás (figura 1). Parece difícil admitir que as leis da mecânica são as mesmas num referencial de inércia e num referencial acelerado.

Duas questões ainda:

1.

Como sabemos se um certo referencial é de facto um referencial de inércia? Recorde que definimos referenciais de inércia como aqueles em que é válida a lei de inércia de Newton.

2.

Qual é a verdadeira natureza das forças de inércia?

Newton responde postulando a existência de um espaço absoluto - um espaço que existe independentemente de tudo, imutável, um palco absoluto no qual se desenrolam os acontecimentos naturais. Um observador inercial é pois, segundo Newton, aquele que está em repouso ou em movimento uniforme relativamente ao espaço absoluto. As forças de inércia ocorrem apenas para aqueles observadores que têm uma aceleração absoluta relativamente ao espaço absoluto.

A experiência do balde de água, que descrevemos na secção seguinte, determina, segundo Newton, quando um sistema está em rotação absoluta relativamente ao espaço absoluto.

Princípio de Mach

Imaginemos um balde, quase cheio com água, suspenso por uma corda, em torno da qual roda (figura 2):

Figure: A água vai rodando e a sua superfície deforma-se, elevando-se no bordo, adquirindo uma forma côncava.

Como é familiar, no início o balde roda e a superfície da água mantem-se plana. Porém, gradualmente, a água vai rodando e a sua superfície deforma-se, elevando-se no bordo, adquirindo uma forma côncava, devido à força centrífuga. Se, subitamente, paramos o balde, a água continua a rodar e a sua superfície mantem a forma côncava (figura 2).

Mais esquematicamente:

A1.

O balde roda mas a água não. A superfície da água mantem-se plana.

A2.

A rotação do balde vai-se gradualmente comunicando à água (por atrito), que começa também a rodar. A sua superfície deforma-se, elevando-se no bordo, adquirindo uma forma côncava, devido à força centrífuga. Quanto mais depressa rodar o balde mais pronunciada será esta forma côncava.

A3.

Pára-se o balde. A água continua a rodar e a sua superfície mantem a forma côncava.

A4.

A água regressa gradualmente à sua posição de equilíbrio, novamente com uma superfície plana.

Newton diz que a curvatura da superfície da água em A2. e A3. se deve à força centrífuga, resultante da rotação da água, relativamente ao espaço absoluto. Esta curvatura não se deve a efeitos locais como, por exemplo, a rotação do balde. De facto, em A1. a superfície da água é plana, embora o balde rode, enquanto que em A3., a superfície da água é côncava, embora o balde esteja parado.

Newton explica pois a deformação da superfície da água, atribuindo-a à força centrífuga que se desenvolve relativamente ao espaço absoluto. No entanto, diz Einstein, o espaço absoluto é uma pura abstracção, não é observável, e fica por explicar a verdadeira causa da elevação da água no bordo.

Mach atribui esta elevação à presença das outras massas do universo. A água roda, não apenas relativamente ao balde, mas também relativamente a todas as outras massas - estas podem, por isso, ser consideradas como a causa da força centrífuga.

A força centrífuga não indica pois rotação relativamente ao espaço absoluto, mas sim rotação relativamente às massas do universo.

Do ponto de vista do balde e da água é todo o universo que roda! De acordo com Mach, a força centrífuga é pois um efeito gravitacional dinâmico das massas que rodam.

Princípio da Equivalência

Introdução

Um observador que vê um objecto mover-se segundo uma trajectória curvílinea (não rectilínea) dirá que isso acontece porque, de acordo com a lei de Newton, existe uma força que actua sobre esse objecto.

Suponhamos, no entanto, que um outro observadorolha para o mesmo objecto e vê que este se desloca segundo uma trajectória rectilínea, com velocidade uniforme, e que, portanto, novamente de acordo com a lei de Newton, não está sujeito à acção de qualquer força.

Será isto possível? E quem tem razão? Será possível que dois observadores distintos possam discordar àcerca (i). da trajectória ser rectilínea ou curvílinea e (ii). àcerca do facto do objecto estar ou não sujeito à acção de uma força exterior?

Vejamos um exemplo concreto:

• Exemplo ... Vejamos o que acontece quando um referencial não inercial ${\mathscr{R}}'$ , se move com aceleração constante e igual a $g$ , relativamente a um referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ .

  
  

  Suponhamos que o movimento se faz ao longo do eixo dos $zz$ e que os restantes eixos se mantêm sempre paralelos. A relação entre as coordenadas dos dois referenciais é dada por:

  $$\left\{\begin{array}{lll} t'&=& t \\ x'&=& x \\ y'&=&y \\ z'&=&z-\frac{1}{2}gt^2 \end{array}\right.$$ (5)

  
  

  APPLETT Cinderella

  
  

  Supômos que não há efeitos relativistas, de tal forma que, $t'=t$. Consideremos agora uma partícula livre (ou um raio de luz) que se move com velocidade constante $v$ , no plano $y=0$ , paralelamente ao eixo dos $xx$ no referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ .

  
  

  De facto:

  $$\left\{\begin{array}{lll} x&=& vt\\ y&=&0\\ z&=& a\end{array}\right.$$ (6)

  
  
  onde $a$ é uma constante. Portanto:

  $$\left\{\begin{array}{lll} x'&=& vt' \\ y' &=&0\\ z' &=&a- \frac{1}{2}gt'^2 \end{array}\right.$$ (7)

  
  
  que é a parábola de equação $z'=a-kx'^2$ no plano $y'=0$ do referencial ${\mathscr{R}}'$ , onde $k=\frac{g}{2v^2}$ .

  Portanto, quando obervada no referencial ${\mathscr{R}}'$, a partícula segue uma trajectória parabólica

Suponhamos que um astronauta ${\mathcal{O}}'$ está numa cápsula espacial, várias dezenas de kms acima da superfície terrestre, em queda livre. Um observador ${\mathcal{O}}$ está em terra e vê o comportamento de ${\mathcal{O}}'$ através de um telescópio.

Figure: Um astronauta numa cápsula espacial, várias dezenas de kms acima da superfície terrestre, em queda livre.

${\mathcal{O}}$ está em repouso na superfície da terra, e vê ${\mathcal{O}}'$ cair verticalmente com uma aceleração de $9.8m/s/s$ . Tudo o que está na cápsula espacial comporta-se da mesma forma - tudo cai com a mesma aceleração. Se, por exemplo, ${\mathcal{O}}'$ atira uma bola para o lado, ${\mathcal{O}}$ verá a bola descrever uma parábola, como acontece com qualquer projéctil.

Consideremos agora as sensações do astronauta ${\mathcal{O}}'$ . Se ele quiser pôr um quadro na parede da cápsula, basta encostá-lo, não precisa de o pregar! ${\mathcal{O}}$ compreende que assim é, porque ele vê que a parede e o quadro caiem ambos com a mesma aceleração. ${\mathcal{O}}'$ larga uma maçã que tem na mão e vê que ela permanece suspensa no ar. ${\mathcal{O}}$ dirá que ${\mathcal{O}}'$ e a maçã caiem lado a lado. Quando ${\mathcal{O}}'$ atira uma bola, ele verá a bola deslocar-se em linha recta até colidir com a parede da cápsula, embora ${\mathcal{O}}$ veja a bola descrever uma parábola. ${\mathcal{O}}'$ pesa-se numa balança a bordo e vê que o seu peso é zero!

Todas estas experiências convencem o astronauta ${\mathcal{O}}'$ de que ele está em repouso, num espaço livre de qualquer atracção gravitacional, enquanto que ${\mathcal{O}}$ continua convencido que ${\mathcal{O}}'$ cai num campo de forças uniforme.

Para reconciliar estes dois pontos de vista, ${\mathcal{O}}'$ escolhe um referencial ligado à cápsula, enquanto que ${\mathcal{O}}$ escolhe um referencial ligado à terra. Estes dois referenciais movem-se um relativamente ao outro com aceleraçãolinear constante. As consequências imediatas deste facto são (i). aquilo a que ${\mathcal{O}}'$ chama uma recta, ${\mathcal{O}}$ dirá que é uma curva, (ii). uma região que ${\mathcal{O}}'$ declara que está livre de qualquer atracção gravitacional, ${\mathcal{O}}$ dirá que está sujeita a um campo gravitacional uniforme. Esta relação é recíproca - ${\mathcal{O}}'$ dirá que a terra e ${\mathcal{O}}$ se deslocam com aceleração uniforme na sua direcção.

Como vimos, a teoria da Relatividade Geral proíbe que privilegiemos qualquer observador relativamente a qualquer outro. Não pode haver qualquer tipo de favoritismo. Qualquer lei da Natureza é igualmente aceitável para todos os observadores e deve por isso ter uma forma invariante que sobreviva à mudança de coordenadas correspondentes. Em particular, a situação acima descrita mostra que a força gravitacional é uma ilusão - depende do referencial escolhido. Isto não significa que se nos lançarmos do cimo de uma torre não haja consequências desastrosas! Mas Einstein nega que elas se devem à atracção que a terra exerce sobre nós! Veremos em breve qual a explicação de Einstein.

No exemplo acima, consideramos o efeito da gravitaçãoapenas numa pequena região que, de acordo com Newton, está sujeita à acção de uma campo uniforme. Vimos que, nesta situação, todos os seus efeitos podem ser neutralizados por uma mudança de referencial. A existência de um campo gravitacional uniforme, de acordo com ${\mathcal{O}}$ , é negada pelo astronauta ${\mathcal{O}}'$ que escolhe um referencial que se move com aceleração constante relativamente a ${\mathcal{O}}$ . Um outro observador ligado ao seu referencial afirmará porventura a existência de um outro tipo de campo.

Uma escolha conveniente de referencial neutralizará qualquer campo gravitacional uniforme. Portanto, um campo deste tipo é artificial, uma pura invenção do observador, e não uma propriedade intrínseca da Natureza...

O astronauta ${\mathcal{O}}'$ , ao escolher um referencial apropriado, neutralizou, na sua vizinhança imediata, aquilo a que ${\mathcal{O}}$ chama um campo gravitacional (figura 3). No entanto, ao fazê-lo, ${\mathcal{O}}'$ vê agora ${\mathcal{O}}$ a deslocar-se na sua direcção com aceleração $9.8\, m/s/s$ . Portanto agora ${\mathcal{O}}'$ diz que ${\mathcal{O}}$ está num campo de forças. Embora a escolha do referencial feita por ${\mathcal{O}}'$ neutralize o efeito da gravidade, na sua vizinhança imediata, ele piora a situação noutros lugares, criando outros campos com outras grandezas e direcções.

Princípio da Equivalência [Einstein] ... "Se nos restringirmos a uma pequena região do espaço, um campo de gravitação uniforme é equivalente a um referencial que se move com aceleraçãolinear constante, num campo livre de gravidade. Não é possível distinguir as duas situações por qualquer experiência" (figura 4).

Outras formulações:

Física num referencial em queda livre num campo gravitacional uniforme é equivalente à Física num referencial de inércia sem gravidade

Por outras palavras, dentro de um referencial em queda livre, onde a aceleração cancela exactamente o campo gravitacional uniforme, não é possível detectar nem da aceleração nem a gravidade através de qualquer experiência.

A Física num referencial não acelerado num campo gravitacional ${\bf g}$ é equivalente à Física num referencial sem gravidade mas com aceleração ${\bf a}=-g$ .

Portanto, de acordo com o Princípio de Equivalência, referenciais acelerados podem ser tratados da mesma forma que os referenciais de inércia- eles não são mais do que referenciais de inércia com gravidade. Daqui resulta também uma definição física de referencial de inércia, sem qualquer referência a algo de exterior como, por exemplo, estrelas fixas - um referencial de inércia é apenas um referencial sem gravidade.

Figure:

Vejamos mais um exemplo sugestivo. Consideremos as seguintes situações locais:

S 1

... Uma caixa é colocada num foguetão longe da acção de qualquer campo gravitacional. O foguetão é acelerado para a frente com aceleração constante $g$ relativamente a um observador de inércia. O observador dentro da caixa larga um corpo inicialmente em repouso e vê esse corpo cair no chão com aceleração $g$ (figura 5).

Figure: Uma caixa é colocada num foguetão longe da acção de qualquer campo gravitacional. O foguetão é acelerado para a frente com aceleração constante $g$ relativamente a um observador de inércia. O observador dentro da caixa larga um corpo inicialmente em repouso e vê esse corpo cair no chão com aceleração $g$ .

S 2

Desligam-se os motores do foguetão de tal forma que agora a caixa desloca-se com movimento uniforme relativamente ao observador de inércia anterior. O observador dentro da caixa larga um corpo e vê esse corpo flutuar, permanecendo em repouso relativamente ao observador (figura 6).

Figure: Desligam-se os motores do foguetão de tal forma que agora a caixa desloca-se com movimento uniforme relativamente ao observador de inércia anterior. O observador dentro da caixa larga um corpo e vê esse corpo flutuar, permanecendo em repouso relativamente ao observador.

S 3

... A caixa é colocada na superfície da Terra. Ignoram-se os movimentos de rotação e orbital da Terra. O observador dentro da caixa larga um corpo inicialmente em repouso e vê esse corpo cair no chão com aceleração $g$ (figura 7).

Figure: A caixa é colocada na superfície da Terra. Ignoram-se os movimentos de rotação e orbital da Terra. O observador dentro da caixa larga um corpo inicialmente em repouso e vê esse corpo cair no chão com aceleração $g$ .

S 4

... A caixa é colocada num poço terrestre e cai livremente em direcção ao centro da Terra. O astronauta dentro da caixa larga um corpo e vê esse corpo flutuar, permanecendo em repouso relativamente a ele próprio (figura 8).

Figure: A caixa é colocada num poço terrestre e cai livremente em direcção ao centro da Terra. O astronauta dentro da caixa larga um corpo e vê esse corpo flutuar, permanecendo em repouso relativamente a ele próprio.

Claramente que, do ponto de vista do astronauta, dentro da caixa, as situações S 1 e S 3 são indistinguíveis, bem como as situações S 2 e S 4, de acordo com o Princípio de Equivalência.

• Exemplo ... Eis um exemplo ilustrativo do Princípio da Equivalência, na situação simples em que temos dois referenciais, ${\mathscr{R}}$ e ${\mathscr{R}}'$ , cuja aceleração relativa é constante em grandeza e direcção.

  
  

  Consideremos um sistema de partículas com massas $m_1,m_2,\cdots,m_n$ , interagindo umas com as outras de tal forma que cada uma delas exerce uma força sobre cada uma das restantes.

  
  

  Para $i\neq j$ , seja ${\bf F}_{ij}$ a força que a partícula $i$ exerce sobre a partícula $j$ . Por simplicidade, supômos que (i). a força está dirigida segundo a linha que une as partículas $i$ e $j$ , (ii). é uma função apenas da distância entre elas, e (iii). ${\bf F}_{ij}=-{\bf F}_{ij}$ , $\forall i,j, \ \ i\neq j$ .

  
  

  Um observador ${\mathcal{O}}$ ligado ao referencial ${\mathscr{R}}$ usa coordenadas $(x,y,z,t)$ para acontecimentos, enquanto que um observador ${\mathcal{O}}'$ , ligado ao referencial ${\mathscr{R}}'$ , usa coordenadas $(x',y',z',t')$ para esses mesmos acontecimentos. Supômos ainda que as velocidades envolvidas são suficientemente pequenas para que seja possível uma análise não relativista. Pômos portanto $t=t'$ e usamos a notação:

  $${\bf x}=(x,y,z) \ \ \ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \ \ \ {\bf x}'=(x',y',z')$$

  
  

  Sejam ${\bf x}_i$ e ${\bf x}_i'$ , os vectores de posição da partícula $i$, $i=1,2,\cdots,n$ , relativamente aos referenciais ${\mathscr{R}}$ e ${\mathscr{R}}'$ , respectivamente.

  Se o primeiro observador ${\mathcal{O}}$ acredita que está na presença de um campo gravitacional uniforme, de tal forma que, relativamente a ele, todas as partículas livres caiem com a mesma aceleração, dada por um vector constante ${\bf g}$ , então as equações do movimento são, para esse observador:

  $$m_i\frac{d^2{\bf x}_i}{dt^2}=m_i{\bf g}+\sum_{j:\,j\neq i}{\bf F}_{ij}, \ \ \ \ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$ (8)

  
  
  já que, de acordo com a segunda lei de Newton:

  
  

  $$\hbox{massa $\times$\ acelera{\c c\~ao}}\, = \,\hbox{for\c ca total}$$

  $$= \, \hbox{for\c ca gravitacional}\,+\,\hbox{for\c ca de interac{\c c\~ao}}$$

  
  

  Suponhamos que a aceleração relativa entre os dois referenciais, ${\mathscr{R}}$ e ${\mathscr{R}}'$ , é constante em grandeza e direcção. Mais concretamente:

  $${\bf x}'={\bf x}-\frac{1}{2}{\bf g}t^2$$ (9)

  
  
  Derivando duas vezes, obtem-se:

  $$\frac{d^2{\bf x}_i}{dt^2}= \frac{d^2{\bf x}'_i}{dt^2}+{\bf g}$$ (10)

  
  

  Substituindo, para cada $i$ , a equação (10) em (8), obtemos as seguintes equações do movimento, descritas agora no referencial ${\mathscr{R}}'$ , i.e., relativas ao segundo observador ${\mathcal{O}}'$ :

  $$m_i\frac{d^2{\bf x}'_i}{dt^2}= \sum_{j:\,j\neq i}{\bf F}_{ij}, \ \ \ \ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$ (11)

  
  

  
  

  Nota: como ${\bf F}_{ij}$ é apenas função de $\Vert{\bf x}_i-{\bf x}_j\Vert$ , e como $\Vert{\bf x}'_i-{\bf x}'_j\Vert= \Vert{\bf x}_i-{\bf x}_j\Vert$ , ${\bf F}_{ij}$ é o mesmo em ambos os referenciais.

  
  Conclusão: O campo gravitacional foi cancelado no referencial ${\mathscr{R}}'$ . Para o observador ${\mathcal{O}}'$ não existe campo gravitacional. O observador ${\mathcal{O}}$ interpreta isto dizendo que ${\mathcal{O}}'$ está em queda livre e que por isso não sente campo gravitacional. Por outro lado, ${\mathcal{O}}'$ poderá dizer: "Não, meu caro! De facto não existe campo gravitacional. Eu sou um observador inercial e você sente campo gravitacional apenas pelo facto de que você acelera relativamente a mim!"

Massa de inércia e massa gravitacional

A massa de inércia, $m_I$ , de um corpo é uma medida da sua inércia, isto é, da resistência que ele oferece à mudança do seu movimento. É a massa que surge na primeira equação de Newton:

$$\framebox{\,$F=m_I\cdot a\,$}$$ (12)

que relaciona a força total, que actua sobre o corpo, com a aceleração resultante.

Se o corpo está sob a acção de um campo gravitacional, criado por um outro corpo esférico de massa (gravitacional) $M_g$ (uma estrela, por exemplo), cujo centro está a uma distância $r$ do primeiro, a força gravitacional, $F_g$ , que actua sobre o primeiro corpo, é determinada pela sua massa gravitacional, $m_g$ , e é dada pela lei de atracção universal de Newton:

$$\framebox{$\,F_g=G\,\frac{m_g\,M_g}{r^2}\,$}$$ (13)

onde $G$ é uma constante universal: $G=6.67\times 10^{-11}m^3/(Kg) (seg)^2$ .

APPLETT AtracaoUniversal.html

Portanto, a massa gravitacional mede a resposta de um objecto à atracção gravitacional. Podemos ver estas massas gravitacionais como fontes que geram força gravitacional, ou ainda como "cargas" gravitacionais que se atraiem uma à outra.

A massa de inércia $m_I$ e a massa gravitacional $m_g$ de um corpo, podem, à priori, ser diferentes e variar com a substância de que ele é feito.

Para comparar estas duas noções de massa, consideremos como a gravidade terrestre actua sobre um corpo situado à superfície da terra. Neste caso, $r$ será igual à distância entre o corpo e o centro da terra e $M_g$ a massa gravitacional da terra. $M_g$ e $r$ são pois constantes. A força gravitacional $F_g$ , dada por (13), que actua sobre o corpo, é portanto proporcional à sua massa gravitacional $m_g$ :

$$\framebox{$\,F_g=Km_g, \ \ \ \ \ \hbox{onde} \ \ \ K=GM_g/r^2\equiv\hbox{constante}\,$}$$ (14)

Mas a segunda lei de Newton (12), diz que essa força é também igual a $m_Ig$, onde $m_I$ é a massa de inércia do corpo e $g$ a aceleração devida à gravidade. Portanto:

$$Km_g=F_g=m_Ig \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ g=K\frac{m_g}{m_I}$$ (15)

Se existissem dois corpos para os quais $m_g/m_I$ fossem diferentes, então $g$ também seria e os tais dois corpos caíriam com acelerações distintas. Mas isso nunca foi observado! Aliás, é célebre a experiência realizada por Galileu no cimo da torre de Pisa (figura 9)!

Figure: Todos os corpos caiem com a mesma aceleração num campo gravitacional dado.

Newton postulou que a razão, $m_g/m_I$ , entre as duas massas de um mesmo corpo, é independente da substância de que ele é feito. Escolhendo convenientemente as unidades podemos até supôr que:

$$\framebox{$\,m_I=m_g \,$}$$ (16)

Este postulado tem o nome de Princípio da Equivalência de Newton.

A queda livre de corpos no vazio suporta experimentalmente este postulado - todos os corpos caiem com a mesma aceleração num campo gravitacional dado.

A lei de atracção universal confere pois à força de atracção gravitacional uma característica única entre todas as forças conhecidas na Natureza. Com efeito, a aceleração, $a$ , comunicada a uma massa $m_I$ por uma força qualquer $F$ , depende da sua massa, uma vez que $a=F/m_I$ . Pelo contrário, um corpo colocado num campo gravitacional criado por uma massa $M_g$ , adquire uma aceleração independente da sua massa, já que $m_g=m_I$ e, portanto, $a=g=GM_g/r^2$ .

A aceleração da gravidade é portanto a mesma para todos os corpos - a força gravitacional ajusta-se de alguma forma à massa de cada corpo sobre o qual actua, de tal forma que a todos imprime a mesma aceleração! É esta aliás a propriedade notável do campo gravitacional, que torna possível criá-lo artificialmente.

Corpos em queda livre, isto é, sujeitos apenas à acção da gravidade, caiem lado a lado, todos com a mesma aceleração.

Mas, como já vimos na secção anterior, podemos simular exactamente a mesma situação, por exemplo, no interior de uma nave, fora da influência de qualquer campo gravitacional, cujos motores a impulsionam numa direcção fixa com uma aceleração constante. Corpos em queda livre dentro da nave sofrem todos uma mesma aceleração na direcção oposta. Portanto, num referencial ligado à nave, criámos um campo gravitacional.

Podemos até neutralizar um campo gravitacional. Isto é o que acontece nos aviões $g=0$ , usados em experiências para testar ausência de peso. De 20 em 20 segundos, eles voam como um projéctil que é disparado para cima e depois cai sob a acção da gravidade terrestre. Dentro do avião, objectos que se movem livremente, caiem exactamente como o avião, à mesma razão. Portanto, relativamente a um referencial ligado ao avião, eles exibem aceleração nula. Eles flutuam. A gravidade terrestre foi cancelada ou neutralizada e atinge-se o ponto $g=0$ .

Mas regressemos ao Princípio da Equivalência de Newton: $m_I=m_g$ . Como explicar esta igualdade entre massa de inércia $m_I$ e a massa gravitacional $m_g$ ? Newton constatou um facto experimental e, de seguida, elevou-o à categoria de postulado. Mas não deu uma explicação para isso!

A explicação de Einstein está no seu:

Princípio da Equivalência ... Um campo de gravitação é localmente equivalente a um campo de aceleração. Um referencial acelerado e um campo de gravitação, que aponta na direcção contrária à da aceleração, são equivalentes. Não existe maneira de distinguir as duas situações!

Imaginemos um corpo de massa $m$ suspenso por uma mola, presa à parte superior de uma caixa (um elevador, por exemplo). Um observador dentro da caixa vê subitamente a mola alongar-se. O acréscimo da tensão da mola indica que o corpo foi puxado (figura 10).

Figure:

Existem duas explicações possíveis:

E1.

a caixa está imóvel sobre a terra - o corpo sofre a influência do campo gravitacional ${\bf g}$ , e a mola sofre um alongamento $L$.

E2.

a caixa está suficientemente afastada da terra, longe da influência de qualquer campo gravitacional, e é submetida a uma aceleração linear uniforme $-{\bf g}$. A mola sofre um alongamento idêntico $L$ .

Os efeitos de um campo gravitacional e de um campo de aceleração são pois os mesmos e um observador, situado no interior da caixa, não tem maneira de distinguir entre as duas situações acima descritas. Em E1. (campo gravitacional), o alongamento da mola é determinado pela massa gravitacional $m_g$ do corpo. Por outro lado, em E2. (campo de aceleração), esse mesmo alongamento é determinado pela sua massa de inércia $m_I$ . Como o alongamento nos dois casos é o mesmo, sômos levados a concluir que $m_g=m_I$ . E isto acontece qualquer que seja o corpo. É esta a explicação dada por Einstein para a igualdade $m_I=m_g$ !

Consequências do Princípio de Equivalência

Em 1911 Einstein deduziu várias consequências do seu Princípio de Equivalência.

"Redshift" gravitacional

Considere a seguinte experiência conceptual: luz de frequência $f$ é emitida do chão de uma nave de altura $h$ , que se move com uma aceleração linear constante $g$ , dirigida para cima, no espaço exterior, longe de qualquer campo gravitacional.

A luz é detectada por um receptor, estacionado no topo da nave. Que frequência é que ele mede ?

Note que o receptor não é um observador de inércia. Como podemos pois dizer algo àcerca das suas medições? Einstein assumiu a hipótese, válida em primeira aproximação para acelerações fracas, que toda a medição feita por um observador acelerado é a mesma da que é obtida por um observador de inércia, que tem a mesma velocidade no instante e local em que é feita a medição.

Sendo assim, seja ${\mathscr{R}}$ um referencial de inércia no qual o emissor está momentâneamente em repouso, no instante em que emite o raio luminoso, e ${\mathscr{R}}'$ um referencial de inércia no qual o receptor está em repouso quando a luz é detectada.

É claro que emissor e receptor afastam-se um do outro. Portanto, de acordo com a teoria do efeito Doppler, a frequência $f'$ , medida pelo receptor, é inferior a $f$ . O receptor detecta pois um desvio para o vermelho (redshift). Como se viu antes:

$$f'=f\, \sqrt{\frac{1-{V}/c}{1+{V}/c}}\,\approx\, f\,(1-{V}/c)$$ (17)

aproximação válida para baixas velocidades $V<< c$ . Em primeira aproximação, o tempo $\Delta t$ que a luz demora a percorrer a distância $h$ , é igual a:

$$\Delta t=h/c$$

Durante esse intervalo de tempo $\Delta t$ , muito pequeno, o topo do elevador aumentou a sua velocidade de:

$$V=g \Delta t=gh/c$$

Portanto, na aproximação acima considerada, a frequência $f'$ medida pelo receptor é:

$$f'=f\,(1-gh/c^2)$$

De acordo com o Princípio de Equivalência, o mesmo efeito deve ser observado se o elevador, em vez de estar acelerado, está sob a acção de um campo gravitacional dirigido para baixo. Como o receptor está, neste caso, sempre em repouso relativamente ao emissor, ele não pode atribuir o reshift ao efeito Doppler. Deve sim interpretá-lo como um efeito da gravidade.

Concluímos pois que a luz sofre um desvio para o vermelho quando se move na direcção contrária à de um campo gravitacional. Luz que se move na direcçãode um campo gravitacional sofre um desvio para o azul.

Dilatação gravitacional do tempo

Vamos comparar dois relógios $A$ e $B$ , o primeiro colocado no topo e o segundo na base de um foguetão, quando este acelera para cima (figura 11). Vamos ver que, para um astronauta sentado na base do foguetão, o relógio $A$ parece andar mais depressa do que o relógio $B$ .

Figura:

Para ver isto, imaginemos que o relógio $A$ emite um pulso de luz por segundo, e suponhamos que o nosso astronauta está na base do foguetão a comparar os instantes de chegada desses sucessivos pulsos com os tics do seu relógio $B$ .

No instante 0 , o relógio $A$ emite o primeiro pulso em direcção a $B$ . Entretanto o foguetão sobe um pouco, e esse pulso, depois de percorrer uma distância $L$ , atinge $B$ , quando este está na posição $B'$ (figura 11).

No segundo seguinte, $A$ , que agora ocupa a posição$A''$ emite o próximo pulso em direcção a $B$ . O foguetão sobe mais ainda, e este segundo pulso, depois de percorrer uma distância $\ell$ , atinge $B$ , quando este está na posição $B'''$ (figura 11).

É claro que $\ell<L$ , uma vez que o foguetão acelera e tem por isso mais velocidade no instante da emissão do segundo pulso.

Portanto se os dois pulsos foram emitidos por $A$ , separados por um intervalo de tempo de $1$ segundo, eles chegam a $B$ com um intervalo ligeiramente inferior a $1$ segundo, já que o segundo pulso não demora tanto tempo na viagem. O mesmo acontece para todos os pulsos seguintes.

Portanto o astronauta na base do foguetão, junto de $B$ , concluirá que o relógio $A$ anda mais depressa do que o relógio $B$ .

Se o astronauta estivesse no nariz do foguetão, observando agora, junto de $A$ , pulsos emitidos de $B$ , ele concluiria que o relógio $B$ anda mais devagar do que $A$ .

Pelo Princípio de Equivalência, o mesmo se passa quando o foguetão está estacionado à superfície da Terra, sujeito pois ao campo gravitacional terrestre. Como neste caso, $B$ está mais perto do corpo gravitacional do que $A$, concluímos que:

relógios mais próximos de um corpo massivo andam mais devagar do que os relógios mais afastados.

Este fenómeno da dilatação gravitacional do tempo complica a atribuição de coordenadas temporais a acontecimentos, na presença de um campo gravitacional. De facto, em Relatividade Restrita, a coordenada temporal de um acontecimento, num dado referencial de inércia, define-se pela leitura de um relógio em repouso relativamente a esse referencial, e situado no mesmo local desse acontecimento. Como temos a possibilidade de sincronizar todos os relógios num dado referencial de inércia, este processo atribui de forma unívoca um valor para a coordenada temporal de cada acontecimento.

Mas, num campo gravitacional, os relógios em diferentes locais marcam o tempo de forma diferente, i.e., os tics dos relógios são diferentes conforme o local onde eles se encontram. Portanto eles não podem ser sincronizados. Como podemos então comparar as coordenadas temporais de acontecimentos que ocorrem em locais distintos ?

Suponhamos que se pretende fazer um rectângulo no espaço-tempo. Começamos por usar um diagrama "altura $h$ versus tempo $t$ ". Como base do nosso rectângulo tomamos um objecto $B$ em repouso, situado à altura $h_1$ , e seguimos a sua linha de universo durante $100$ segundos. Obtemos assim uma linha $BD$ paralela ao eixo dos $tt$ (figura 12).

Tomemos agora um segundo objecto que está mais alto $100$ metros do que $B$ , no instante $t=0$ . Começando em $A$ seguimos a sua linha de universo durante $100$ segundos, mas agora medidos de acordo com um relógio em $A$ . Obtemos a linha $AC$ . No entanto como o tempo anda diferentemente às duas altitudes, os dois pontos $C$ e $D$ não são simultâneos. Portanto o espaço-tempo é curvo (figura 12).

Figure:

Para agravar esta situação, veremos em breve que a própria geometria é ela própria alterada pela presença de um campo gravitacional (veja a discussão sobre o disco rotativo)! Como podemos então definir coordenadas espaciais para acontecimentos no espaço-tempo?

A resposta é Geometria Riemanniana (1826-1866).

Deflexão da luz num campo gravitacional

Considere a seguinte experiência conceptual: um pulso de luz é emitido de um ponto $P$ , numa direcção perpendicular ao movimento de uma nave, que se move com uma aceleração linear constante $g$ , dirigida para cima, no espaço exterior, longe de qualquer campo gravitacional (figura 13).

APPLETT DA VANESSA

Figure:

APPLETT Cinderella MovAcelerado2.html

No instante em que a luz atinge a outra parede mais afastada, o elevador subiu uma certa distância. A luz atinge essa parede num certo ponto $Q$ , que está mais abaixo do que o ponto $P$ . A diferença de elevação entre $P$ e $Q$ é a distância que o elevador percorreu enquanto a luz estava em trânsito de $P$ para $Q$ .

Um astronauta dentro da nave observa pois que o pulso de luz descreve uma trajectória parabólica (figura 14).

Figure:

Pelo Princípio de Equivalência, o mesmo será observado pelo astronauta quando a nave não acelera mas está em repouso à superfície da Terra (figura 15).

Figure:

Ver o teste real da deflexão da luz solar, durante o eclipse de 1919 em Mook (adaptar figura).

Figure:

O disco rotativo

Uma plataforma circular (pense na estação espacial do "2001, Odisseia no espaço") roda com velocidade angular constante em torno do seu eixo (figura 31).

Figure:

Cada ponto da plataforma percorre uma trajectória circular e portanto acelera em direcção ao centro. Um referencial ligado à plataforma é um referencial acelerado no qual a direcção e grandeza da aceleração varia de ponto para ponto. Neste aspecto difere de um referencial uniformemente acelerado no qual todo o ponto tem a mesma aceleração.

Pelo Princípio de Equivalência, este campo de acelerações é equivalente a um campo gravitacional. No entanto, este campo gravitacional não pode ser de tipo Newtoniano - o campo anula-se no centro do disco e cresce proporcionalmente com a distância ao centro, à medida que dele nos afastamos!

Vamos comparar medições de comprimento feitas por um astronauta que habita a plataforma com as que são efectuadas por um observador num referencial de inércia exterior.

Para sermos mais precisos, suponhamos que o observador usa um referencial de inércia ${\mathscr{R}}={\mathscr{R}}(t,x,y,z)$ , e o astronauta um referencial ${\mathscr{R}}'={\mathscr{R}}'(t',x',y',z')$ . O referencial ${\mathscr{R}}'$ roda com velocidade angular uniforme ${ \omega}$ , relativamente ao referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ , de tal forma que as origens espaciais coincidem sempre, bem como os eixos dos $zz$ e $z'z'$ (figura 18).

Figure:

O astronauta faz experiências no disco (o seu mundo) com relógios e réguas, com o objectivo de chegar a uma definição do significado do tempo e espaço nesse seu mundo.

Para começar ele pega em dois relógios, $A$ e $B$ , idênticos e coloca $A$ no centro do disco e $B$ na periferia do disco. Será que os tic-tacs dos dois relógios são iguais do ponto de vista de um observadorfixo no referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ ?

Do ponto de vista deste observador, o relógio no centro tem velocidade nula enquanto que o da periferia tem velocidade linear $v={ \omega}r$ , relativamente a ${\mathscr{R}}$ , devido ao movimento de rotação. Portanto, do ponto de vista de ${\mathscr{R}}$ , ou do observador $A$ , o tic-tac do relógio $B$ é mais lento do que o do relógio $A$ .

Figure: $A$ diz que tic-tac do relógio $B$ é mais lento.

Portanto não é possível obter uma definição razoável de tempo com ajuda de relógios em repouso relativamente ao disco (referencial ${\mathscr{R}}'$ ).

Com a medição de comprimentos o mesmo acontece. De facto, seja $p$ o perímetro do disco e $r$ o seu raio, medidos pelo observador no referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ , usando réguas em repouso relativamente a esse referencial. Como se sabe, de acordo com a Geometria Euclideana:

$$p=2\pi r$$ (18)

Imaginemos agora réguas de comprimento próprio (de repouso) $1$ , movendo-se solidárias com o disco, em repouso relativamente a este (i.e., em repouso relativamente ao referencial ${\mathscr{R}}'$ ), dispostas tangencialmente ao longo do seu perímetro, preenchendo-o, e também ao longo do seu diâmetro. Que valor têm estes, de acordo com ${\mathscr{R}}$ ?

Para imaginar mais precisamente a situação, o observador ${\mathscr{R}}$ tira uma fotografia instantânea, num certo instante $t$ . Nesse instantâneo, cada uma das réguas radiais continua com comprimento $1$ , enquanto que cada uma das tangenciais têm comprimento $\gamma^{-1}\times 1=\sqrt{1-(v/c)^2}<1$ . De facto, como se sabe da Relatividade Restrita, corpos em movimento sofrem uma contraçao (de Lorentz) do seu comprimento na direcção do movimento. No entanto, não há qualquer contracção, de acordo com ${\mathscr{R}}$ , segundo a direcção do raio do disco (figura 20).

O perímetro $p'$ de um disco circular, do ponto de vista do astronauta em ${\mathscr{R}}'$ , não é mais do que o número $N$ de réguas tangenciais que aparecem no instantâneo, ao longo do perímetro:

$$p'=N\times 1$$ (19)

Por outro lado, o observador ${\mathscr{R}}$ , ao examinar o instantâneo, vê o mesmo número $N$ de réguas ao longo da periferia do disco, mas agora, cada uma com um comprimento $\sqrt{1-(v/c)^2}$ . Portanto, de acordo com ${\mathscr{R}}$ , o perímetro do disco é:

$$p= N\times \sqrt{1-(v/c)^2}$$ (20)

Substituindo $N=p'$ , vem que:

$$p=p'\times \sqrt{1-(v/c)^2}$$ (21)

Mas como, por outro lado, $r'=r$ , e $p=2\pi r$ , vem que:

$$2\pi=\frac{p}{r}=\frac{p'\times\sqrt{1-(v/c)^2}}{r'}<\frac{p'}{r'} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ p'>2\pi r'$$

De acordo com o Princípio de Equivalência o referencial acelerado ${\mathscr{R}}'$ do disco é equivalente a um campo gravitacional. Concluindo:"A Geometria Euclideana não é válida no disco, nem em geral num campo gravitacional.

Figure:

Tendo reconhecido que gravidade e geometria estão relacionados, Einstein prosseguiu para a hipótese drástica de que o efeito da presença de matéria gravitacional manifesta-se através da distorção do espaço-tempona sua vizinhança. O problema é encontrar a relação entre a distribuição de matéria e a geometria.

Segundo John Wheeler:

• o espaço-tempo diz como a matéria se move

• a matéria diz como espaço-tempo se curva

Figure:

Para quem gosta de cálculos mais concretos, eis os detalhes formais da situação anterior:

Comparemos as observações feitas por dois observadores ${\mathcal{O}}$ e ${\mathcal{O}}'$ , fixos nas origens de dois referenciais ${\mathscr{R}}={\mathscr{R}}(t,x,y,z)$ e ${\mathscr{R}}'={\mathscr{R}}'(t',x',y',z')$ . O referencial ${\mathscr{R}}'$ roda com velocidade angular uniforme ${ \omega}$ , relativamente ao referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ , de tal forma que as origens coincidem sempre bem como os eixos dos $zz$ e $z'z'$ (figura 18). ${\mathscr{R}}'$ não é pois um referencial de inércia. Ignorando as coordenadas $z$ e $z'$ , as fórmulas para a mudança $M$ de coordenadas são:

$$M:\,\left\{\begin{array}{lll} t&=& t' \\ x &=& x'\, \cos { \omega... ...ega}t' \\ y &=& x'\, \sin { \omega}t' + y'\,\cos { \omega}t' \end{array}\right.$$ (22)

Note que $t'=t$ , uma vez que ${\mathcal{O}}\equiv{\mathcal{O}}'$ durante todo o movimento. $M$ não é linear e é claro que não pode ser, por isso, uma transformação de Lorentz!

Consideremos agora um ponto $P'$ rigidamente ligado ao referencial ${\mathscr{R}}'$ , no com coordenadas ${\mathscr{C}}=(x'=r,y'=0)$ , onde $r>0$ é constante.

Como $P'$ está fixo em ${\mathscr{R}}'$ , a sua linha de universo é uma linha recta paralela ao eixo $t'$ . No entanto, em ${\mathscr{R}}$ , $P'$ tem uma velocidade não nula e a sua linha de universo é uma espiral.

De facto a linha de universo de $P'$ , em ${\mathscr{R}}$ , pode ser parametrizada por:

$${\boldmath { \alpha}}(t)=(t,x,y)=(t, r\,\cos{ \omega}t, r\,\sin{ \omega} t)$$ (23)

(recorde que $t'=t$ ) e portanto a velocidade linear de $P'$ , no referencial ${\mathscr{R}}$ , é igual a:

$${\bf v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=r{ \omega}\,(-\sin{ \omega}t, \cos{ \omega}t)$$ (24)

Da mesma forma, a aceleração linear é igual a:

$${\bf a}=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{dy^2}{dt^2}\right)=-r{ \omega}^2\,(\cos{ \omega} t, \sin{ \omega}t)$$ (25)

A velocidade escalar $v=\Vert{\bf v}\Vert=r{ \omega}$ é pois directamente proporcional ao raio $r$ e à velocidade angular ${ \omega}$ . A aceleração é radial (perpendicular à trajectória circular de ${\mathscr{C}}$ ) tem grandeza $r{ \omega}^2$ e aponta para dentro (aceleração centrípeta).

A limitação de velocidade, imposta pela Relatividade Restrita, implica que $v=r{ \omega}<c$ , donde $r<c/{ \omega}$ . Portanto o referencial não inercial ${\mathscr{R}}'$ tem uma fronteira espacial - apenas podemos descrever os acontecimentos ${\mathscr{A}}=(t',x',y')$ que estão dentro do cilindro circular $r=\sqrt{x'^2+y'^2}=c/{ \omega}$ . Como um referencial de inércia não tem limitações deste tipo, esta é a primeira diferença que encontramos para o referencial não inercial ${\mathscr{R}}'$ .

Para medir distâncias recorremos a um reticulado de réguas no plano $x'y'$ , dispostas segundo as direcções radiais e circulares (figura 20).

As réguas que ficam em cima de um círculo são muito mais pequenas do que o seu raio, de tal forma a permitir medir o seu perímetro com uma grande precisão. Meçamos o perímetro e o raio do circulo descrito pelo ponto $P'$ .

Toda a descrição far-se-á relativamente ao observador ${\mathcal{O}}$ fixo no seu referencial de inércia ${\mathscr{R}}$ . Relativamente a este observador, todas as réguas, alinhadas segundo o perímetro, estão em movimento, e portanto contraem-se na direcçao do movimento. No entanto este movimento circular não tem efeito sobre as réguas que medem o raio do círculo. Mais concretamente, as réguas tangenciais movem-se com velocidade linear $v=r{ \omega}$ , e portanto contraem-se por um factor igual a:

$$\gamma^{-1}=\sqrt{1-v^2}=\sqrt{1-r^2{ \omega}^2}<1$$

Consideremos o círculo de raio $r$ centrado na origem. Não há ambiguidade aqui - ambos os observadores concordam àcerca de distâncias radiais. Do ponto de vista das réguas do observador ${\mathcal{O}}$ , o círculo tem perímetro $2\pi r$ . Mas ${\mathcal{O}}$ considera as réguas tangenciais do referencial ${\mathscr{R}}'$ mais curtas por um factor $\gamma^{-1}= sqrt{1-r^2{ \omega}^2}<1$ . Portanto, com estas réguas ${\mathcal{O}}$ obtem a razão:

$$\frac{\hbox{per\'imetro}}{\hbox{di\^ametro}}=\frac{2\pi r/\sqrt{1-r^2{ \omega}^2}}{2r}=\frac{\pi}{\sqrt{1-r^2{ \omega}^2}}\,>\, \pi$$ (26)

Vamos agora calcular o tempo próprio do observador ${\mathscr{C}}$ . É claro que o cálculo deve ser feito num referencial de inércia. Neste caso, vamos usar ${\mathscr{R}}$ .

Como:

$$\frac{d{\boldmath { \alpha}}}{dt}=(1,-r{ \omega}\,\sin{ \omega}t, r{ \omega}\,\cos{ \omega}t)$$

a função tempo próprio é dada por:

$$\tau(t)=\int_0^t\, \Vert d{\boldmath { \alpha}}/dt \Vert\, dt= \int_0^t\, \sqrt{1-r^2{ \omega}^2}\,dt=\sqrt{1-r^2{ \omega}^2}\, t$$ (27)

Em particular, $t$ não é tempo próprio em ${\mathscr{C}}$ , embora seja proporcional ao verdadeiro tempo próprio $\tau$ . A constante de proporcionalidade $\sqrt{1-r^2{ \omega}^2}$ é sempre inferior a $1$ , e portanto, o relógio de ${\mathscr{C}}$ anda mais devagar do que o de ${\mathcal{O}}'$ . Sabemos já que relógios que se movem andam mais devagar. Como a velocidade cresce com $r$ , o mesmo acontece com a dilatação do tempo (figura 22).

Figure:

Porquê espaços-tempo curvos? Gravidade como curvatura do espaço-tempo

Variando a aceleração de um observador num espaço-tempo plano, podemos, de acordo com o Princípio de Equivalência, imitar um qualquer campo gravitacional. Então porque necessitamos de espaços-tempo curvos ?

Quando discutimos o Princípio de Equivalência, suposemos que o campo gravitacional era uniforme, isto é, que relativamente a um observador de inércia, a aceleração de todos os corpos que caiem é sempre a mesma (em direcção e grandeza). No entanto isto não corresponde à realidade - é só uma aproximação. De facto, a aceleração devida à gravidade varia de ponto para ponto.

Consideremos as seguintes situações não locais:

S 1.

A caixa é colocada num foguetão longe da acção de qualquer campo gravitacional. O foguetão é acelerado para a frente com aceleração constante $g$ relativamente a um observador de inércia. O astronauta larga dois corpos, de uma mesma altura, inicialmente em repouso, e vê esses corpos caiem no chão com aceleração $g$ , paralelamente um ao outro (figura 23).

Figure: O astronauta larga dois corpos, de uma mesma altura, inicialmente em repouso, e esses corpos cairem no chão com aceleração $g$ , paralelamente um ao outro.

S 2.

Desligam-se os motores do foguetão de tal forma que agora a caixa desloca-se com movimento uniforme relativamente ao observador de inércia anterior. O astronauta larga os dois corpos e vê que eles flutuam, permanecendo em repouso relativamente a ele próprio (figura 24).

Figure: O astronauta larga os dois corpos e vê que eles flutuam, permanecendo em repouso relativamente a ele próprio.

S 3.

A caixa é colocada na superfície da Terra. Ignoram-se os movimentos de rotação e orbital da Terra. O astronauta larga os dois corpos e vê esses corpos cairem em direcção ao centro da Terra, descrevendo trajectórias que convergem uma para a outra (figura 25).

Figure: O astronauta larga os dois corpos e vê esses corpos cairem em direcção ao centro da Terra, descrevendo trajectórias que convergem uma para a outra.

S 4.

A caixa é colocada num poço terrestre e cai livremente em direcção ao centro da Terra. O astronauta larga os dois corpos e vê que eles flutuam, mas agora aproximando-se um do outro (figura 26).

Figure: O astronauta larga os dois corpos e vê esses corpo flutuarem, mas agora aproximando-se um do outro.

Agora, o observador pode distinguir o campo uniforme da situação S1. do campo gravitacional terrestre não uniforme da situação S3.. Novamente, em queda livre, os corpos viajam em geodésicas que convergem (ou divergem) como na situação S4.

FIGURAS

Estes novos efeitos, chamados "efeitos maré" (tidal effects) da gravidade são provocados pela não uniformidade do campo gravitacional, que varia de ponto para ponto.

São, de facto, muito ténues quando analisados localmente. Por outras palavras, uma cápsula muito pequena em queda livre, num intervalo de tempo muito curto, é, em primeira aproximação, um referencial de inércia. Este referencial diz-se por isso um referencial local de inércia.

Na presença de um campo gravitacional, por exemplo, na presença de uma massa grande (Terra, Sol, ...), duas partículas teste que se movem com a mesma velocidade inicial ao longo de duas trajectórias espaciais próximas, em geral não continuam paralelas, mas aceleram gradualmente uma relativamente à outra, devido à não uniformidade do campo gravitacional.

Esta aceleração relativa de partículas em queda livre é completamente análoga à situação seguinte. Imaginemos dois viajantes que partem de dois pontos próximos $A$ e $B$ no equador da esfera, ambos em direcção ao pólo norte, ao longo de dois meridianos (figura 27).

Figure:

As trajectórias dos dois viajantes são inicialmente paralelas, mas aproximam-se gradualmente uma da outra até se encontrarem no pólo norte.

Seja ${ \alpha}(s)$ a parametrizaçãode um dos meridianos, por comprimento de arco, com ${ \alpha}(o)=A$ , e seja $\nu(s)$ a distância entre ${ \alpha}(s)$ e o outro meridiano, medida ao longo do paralelo que passa em ${ \alpha}(s)$ . Então:

$$\frac{d^2\nu}{ds^2}+\frac{\nu}{R^2}=0$$ (28)

onde $R$ é o raio da esfera. De facto, tem-se que:

$$\nu(s)=\nu_o\cos(s/R)$$

como é claro da figura 27.

Como $1/R^2$ é a curvatura de Gauss da esfera, podemos escrever:

$$\framebox{$\,\frac{d^2\nu}{ds^2}+K{\nu} =0\,$}$$ (29)

que se diz a equação de Jacobi (ou equação do desvio geodésico). De facto esta equação é válida para qualquer superfície, desde que definamos apropriadamente $\nu(s)$ e onde a curvatura pode variar de ponto para ponto $K=K({ \alpha}(s))$ .

Numa superfície de curvatura negativa, por exemplo, geodésicas inicialmente paralelas afastam-se uma da outra (figura 28).

A analogia entre as duas situações referidas:

(i).

a aceleração relativa de partículas livres num campo gravitacional uniforme e

(ii).

a separação variável entre geodésicas próximas numa superfície curva

é mais do que uma pura coincidência.

Figure:

Partindo do seu Princípio de Equivalência, Einstein concluiu que gravidade não é uma força, como Newton julgava, mas sim curvatura do espaço-tempo. A fonte desta curvatura é matéria - um corpo material cria um campo gravitacional que deforma ou "curva" o espaço-tempo envolvente.

Generalizando a lei de inércia de Newton, que diz que partículas livres deslocam-se segundo geodésicas (linhas rectas) no espaço-tempo plano da Relatividade Restrita (gravidade zero = curvatura nula), Einstein afirma que partículas livres devem seguir geodésicas no espaço-tempo com curvatura. Portanto, todos os objectos materais, desde uma maçã até um planeta, movem-se ao longo de geodésicas do espaço-tempo, a menos que sejam impedidas por qualquer força exterior. O mesmo acontece com os raios de luz.

Consideremos o movimento de um planeta (a Terra, por exemplo) em volta do Sol. Duas explicações em confronto:

Newton

... De acordo com a segunda lei de Newton, a Terra não se move segundo uma trajectória rectílinea porque existe uma força que actua sobre ela - a força da atracção gravitacional criada pelo Sol. Esta força actua continuamnte sobre a Terra e é a responsável pela trajectória elíptica da Terra.

Einstein

... A presença do Sol deforma o espaço-tempo, e este tem agora curvatura não nula. De acordo com o Princípio da Relatividade Geral, a Terra move-se segundo uma geodésica deste espaço-tempo curvo.

FIGURA

Vemos pois que, ao considerar o movimento dos corpos no espaço, e ao usar o tempo como uma entidade absoluta e independente, Newton teve que introduzir uma força para explicar o comportamento de uma massa teste junto de uma outra. Einstein não precisa de introduzir uma força para explicar isso. A explicação é puramente geométrica

Figure:

Figure:

Façamos o transporte paralelo de um vector tangente ao longo de um (pequeno) triângulo geodésico ${\mathcal{T}}$ , de tal forma que o vector, durante o seu movimento, faz sempre um ângulo constante com cada um dos três lados desse triângulo.

O movimento faz-se no sentido positivo (anti-horário).

A Holonomia ${\mathscr{H}}({\mathcal{T}})$ do triângulo geodésico ${\mathcal{T}}$ define-se como sendo o menor ângulo orientado formado pela posição inicial do vector com a sua posição final, depois de completado um percurso completo ao longo do perímetro de ${\mathcal{T}}$ .

É possível mostrar que (Gauss-Bonnet):

$${\mathscr{H}}({\mathcal{T}})={\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}}=({ \beta}_1+{ \beta}_2+{ \beta}_3)-\pi$$

onde ${ \beta}_1,{ \beta}_2,{ \beta}_3$ são os ângulos internos de ${\mathcal{T}}$ .

Portanto:

$$\left\{\begin{array}{lllll} \hbox{No plano} & &{\mathscr{H}}({\ma... ...}({\mathcal{T}}) &=& {\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}} < 0 \end{array}\right.$$

A curvatura de Gauss $K$ , em cada um destes modelos (de curvatura constante) pode ser definida por:

$$K = \frac{{\mathscr{H}}({\mathcal{T}})}{\hbox{\'area}({\mathcal{T}})} = \frac{\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}}{\hbox{\'area}({\mathcal{T}})}$$

Não depende do triângulo geodésico. Portanto:

$$\left\{\begin{array}{lll} \hbox{No plano} & & K=0\nonumber\\ \hbo... ...& & K=+1 \nonumber\\ \hbox{No plano hiperb\'olico} & & K=-1 \end{array}\right.$$

Figure:

Plano	Esfera	Curvatura negativa
Rectas perpendiculares	Geodésicas perpendiculares	Geodésicas perpendiculares
a uma mesma recta	a uma mesma linha	a uma mesma linha
são paralelas	convergem	divergem
Soma dos ângulos	Soma dos ângulos	Soma dos ângulos
de um triângulo (geodésico)	de um triângulo (geodésico)	de um triângulo (geodésico)
é igual a $\pi$	é superior a $\pi$	é inferior a $\pi$
Perímetro de um círculo	Perímetro de um círculo	Perímetro de um círculo
de raio $R$	de raio $R$	de raio $R$
é igual a $2\pi R$	é inferior a $2\pi R$	é superior a $2\pi R$
Curvatura nula	Curvatura positiva (constante)	Curvatura negativa (constante)

Plano	Esfera	Plano hiperbólico
Rectas perpendiculares a uma mesma recta são paralelas	Geodésicas perpendiculares a uma mesma linha convergem	Geodésicas perpendiculares a uma mesma linha divergem
A soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico é igual a$\pi$	A soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico é superior a$\pi$	A soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico é inferior a$\pi$
O perímetro de um círculo de raio $R$ é igual a $2\pi R$	O perímetro de um círculo de raio $R$ é inferior a $2\pi R$	O perímetro de um círculo de raio $R$ é superior a $2\pi R$
Curvatura K=0	Curvatura K=+1	Curvatura K=-1

Princípio da Covariância Geral

Do princípio da covariância geral, Einstein argumenta que todas as leis da Física devem ser expressas como equações tensoriais para que elas se transformem convenientemente sob mudanças de coordenadas.

Consideremos então um referencial em queda livre num campo gravitacional. Um tal referencial é um referencial de inércia, e portanto um objecto caindo com ele move-se linearmente e portanto ao longo de uma geodésica nesse referencial. Como as geodésicas são definidas por equações tensoriais, o princípio da covariância geral garante que todos os observadores dirão que todos os objectos em queda livre seguem trajectórias que são geodésicas (temporais) do espaço-tempo. Poratnto as equações do movimento num campo gravitacional são equações das geodésicas.

Por outro lado, a métrica num sistema de coordenadas qualquer define o campo gravitacional nessas coordenadas. Devido à relacção entre campo e métrica, as equaçõesdo campo dizem-nos não apenas como as fontes de gravitação determinam o campo mas também como elas determinam a curvatura do espaço-tempo. A conclusão revolucionária de Einstein é pois:

GRAVIDADE É GEOMETRIA.

Pôr aqui a noção moderna de covariância (diff-invariância) e o "hole argument" (Rovelli, Norton,etc...)

Bibliography

1

Moore T.A. "A Travelers's Guide to Spacetime", McGraw-Hill 1995.

2

Faber R.L. "Differential Geometry and Relativity Theory", Marcel Dekker, 1983.

3

Mermin N.D. "Space and Time in Special Relativity", Waveland Press, 1968.

4

Sartori L. "Understanding Relativity", University of California Press, 1996.

5

Mook D.E and Vargish T. "Inside Relativity", Princeton University Press, 1987.

6

Jorge Dias de Deus "Viagens no Espaço-Tempo", Gradiva 2003.

7

Ruy Luís Gomes "Relatividade Restrita", Edições CMUP, Centro de Matemática da Universidade do Porto. Edição comemorativa do nascimento do autor (no prelo).