Curvatura


Transporte paralelo


Façamos o transporte paralelo de um vector tangente ao longo de um (pequeno) triângulo geodésico $ {\mathcal{T}}$. Isto significa que o vector, durante o seu movimento, faz sempre um ângulo constante com cada um dos três lados desse triângulo. O movimento faz-se no sentido positivo (anti-horário).

Nas três animações seguintes, mostra-se o transporte paralelo em três situações:

  • no plano

 

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  • Na esfera

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  • no plano hiperbólico

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Holonomia



A Holonomia $ {\mathscr{H}}({\mathcal{T}})$ do triângulo geodésico $ {\mathcal{T}}$ define-se como sendo o menor ângulo orientado formado pela posição inicial do vector com a sua posição final, depois de completado um percurso completo ao longo do perímetro de $ {\mathcal{T}}$ .

É possível mostrar que (Gauss-Bonnet):

$\displaystyle {\mathscr{H}}({\mathcal{T}})={\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}}=({ \beta}_1+{ \beta}_2+{ \beta}_3)-\pi$

onde $ { \beta}_1,{ \beta}_2,{ \beta}_3$ são os ângulos internos de $ {\mathcal{T}}$ .

Portanto:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lllll}
\hbox{No plano} & &{\mathscr{H}}({\ma...
...}({\mathcal{T}}) &=& {\hbox{Excesso de
${\mathcal{T}}$}} < 0
\end{array}\right.$


Curvatura
de Gauss



A curvatura de Gauss $ K$ , em cada um destes modelos (de curvatura constante) pode ser definida por:

$\displaystyle K = \frac{{\mathscr{H}}({\mathcal{T}})}{\hbox{\'area}({\mathcal{T}})} = \frac{\hbox{Excesso de ${\mathcal{T}}$}}{\hbox{\'area}({\mathcal{T}})} $

Não depende do triângulo geodésico. Portanto:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}
\hbox{No plano} & & K=0\nonumber\\ \hbo...
...& & K=+1
\nonumber\\
\hbox{No
plano hiperb\'olico} & & K=-1
\end{array}\right.$

Mais efeitos da curvatura





Plano
Esfera
Curvatura negativa



Rectas perpendiculares
a uma mesma recta
são paralelas
Geodésicas perpendiculares
a uma mesma linha
convergem
Geodésicas perpendiculares
a uma mesma linha
divergem
A soma dos ângulos internos
de um triângulo geodésico
é igual a$ \pi$
A soma dos ângulos internos
de um triângulo geodésico
é superior a$ \pi$
A soma dos ângulos internos
de um triângulo geodésico
é inferior a$ \pi$
O perímetro de um círculo
de raio
$ R$
é igual a
$ 2\pi R$

O perímetro de um círculo
de raio
$ R$
é inferior a $ 2\pi R$
O perímetro de um círculo
de raio
$ R$
é superior a $ 2\pi R$
Curvatura K=0
Curvatura K=+1 Curvatura K<0












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