Relatividade Restrita - Uma introdução

Contracção do comprimento




Considere mais uma vez um autocarro que se move com velocidade constante $ {V}$ relativamente à paragem. Seja $ {\mathscr{R}}$ um referencial ligado à paragem e $ {\mathscr{R}}'$ um referencial ligado ao autocarro.

Um observador $ {\mathcal{O}}$ , fixo no centro da paragem, pode medir o comprimento $ L$ do autocarro, de acordo com o seu referencial $ {\mathscr{R}}$, medindo o intervalo de tempo

$\displaystyle {\Delta t}=t_2-t_1$
que separa os dois instantes $ t_1$ e $ t_2$ em que a parte da frente e a parte de trás do autocarro passam no centro da paragem - acontecimentos $ A_1$ e $ A_2$ , respectivamente:


  $\displaystyle A_1 =$ $\displaystyle \hbox{a parte da frente do autocarro passa no centro da paragem}$  
  $\displaystyle A_2 =$ $\displaystyle \hbox{a parte de tr\'as do autocarro passa no centro da paragem}$  


Como o autocarro se move com velocidade $ {V}$ , relativamente a esse observador $ {\mathcal{O}}$ , tem-se então que:

$\displaystyle L={V}\cdot {\Delta t}$ (25)


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


Para medir o comprimento $ L'$ do autocarro, de acordo com o referencial $ {\mathscr{R}}'$ , a ele ligado, dois passageiros $ {\mathcal{P}}'_1$ e $ {\mathcal{P}}'_2$ , dentro do autocarro, um na parte da frente e outro na parte traseira, registam, com os respectivos relógios, os dois instantes $ t'_1$ e $ t'_2$ , em que a parte da frente e a parte de trás passam no centro da paragem - os mesmos acontecimentos $ A_1$ e $ A_2$ , de há pouco. Seja:

$\displaystyle \Delta t'=t'_2-t'_1$

Relativamente a estes passageiros, a paragem move-se com velocidade $ -{V}$. Logo:

$\displaystyle L'={V}\cdot \Delta t'$ (26)


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


Mas o intervalo $ {\Delta t}$ é o tempo próprio entre os dois acontecimentos $ A_1$ e $ A_2$ , relativamente ao observador $ {\mathcal{O}}$ , fixo no centro paragem. De facto, para esse observador, os dois acontecimentos ocorrem no mesmo local (o centro da paragem). Portanto:

$\displaystyle \Delta t= {\Delta t'}/\gamma$ (27)

e daí que:

$\displaystyle \frac{L'}{{V}}=\gamma\cdot\frac{L}{{V}} $
isto é:

$\displaystyle L'=\gamma\cdot L $
Como $ \gamma\geq 1$ , tem-se que:

$\displaystyle L\leq L'$
facto que é habitualmente designado por contracção do comprimento (na direcção do movimento).



Concluindo:




O comprimento de um objecto, medido num referencial no qual ele está em repouso, diz-se o comprimento próprio desse objecto, e é usualmente notado por $ L_0$ . No exemplo anterior, $ L'=L_0$ é o comprimento próprio do autocarro. O comprimento próprio é sempre maior do que o comprimento medido num qualquer outro referencial:
$\displaystyle \framebox{$\,L_0=\gamma\cdot L \geq L\,$}$
 




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