A Análise é uma das grandes áreas da Matemática com múltiplas aplicações em diversos campos do conhecimento como Física, Biologia, Engenharia, Economia, etc. Neste minicurso abordaremos vários temas basilares para o desenvolvimento desta teoria, alguns deles de forma complementar à que é estudada no ensino secundário. Exemplos de temas a tratar serão:

• Noções básicas sobre funções e conjuntos. Cardinalidade. O conjunto dos números reais.
• Sucessões e séries numéricas. Fracções contínuas. Órbitas. Pontos fixos. Expansão decimal dos números reais.
• Significado geométrico da derivada e alguns resultados decorrentes. Teorema de Lagrange.

Com uso do programa Geometer’s Sketchpad, chegaremos, de uma forma experimental e construtiva - tendo frequentemente como ponto de partida um problema de identificação de um lugar geométrico - a vários resultados clássicos e úteis da geometria euclidiana plana, que podemos organizar em três partes:

Parte I - Geometria clássica das figuras planas: resultados clássicos sobre triângulos, quadriláteros e círculos, incluindo medidas de ângulos, fórmulas trigonométricas e suas aplicações, medidas de áreas e relações de simetria entre as várias figuras.

Parte II - Geometria de curvas planas: aspectos diversos da geometria das cónicas e outras curvas e suas aplicações.

Em Combinatória, ou em Teoria de Grafos, que é parte da Combinatória, estudam-se e resolvem-se questões de formas em geral diferentes das das outras disciplinas de Matemática, quer pelos métodos usados quer pelo campo de aplicações, muitas vezes muito vasto.

Neste mini-curso exploram-se um pouco estas diferenças, dando-se a conhecer o carácter da Combinatória, num processo que recorre menos a um grande número de conhecimentos já adquiridos pelos alunos do que à criatividade na sua utilização. Assim, parte-se da conhecida fórmula de Euler para poliedros, que se prova no caso mais geral dos grafos, e extraem-se algumas consequências ”bem escondidas”, que vão desde outras propriedades dos poliedros a propriedades das configurações de pontos e rectas no plano e ao cálculo da área de determinadas figuras.

A seguir estudam-se um pouco algumas propriedades dos grafos, que podem ser vistos como um conjunto de pontos (os vértices) e de caminhos entre pares de pontos (as arestas): estudam-se os que permitem que se ”percorra” cada aresta uma e uma só vez sem se sair do grafo, os ”eulerianos”, e os que permitem que se passe por cada vértice uma e uma só vez - os ”hamiltonianos”.

Neste mini-curso pretende-se dar uma ideia do que é a Teoria dos Números, a área da Matemática que trata do estudo de propriedades mais ou menos subtis dos números naturais, através de alguns tópicos seleccionados pela sua beleza, simplicidade e importância histórica.

Os principais assuntos a tratar serão: factos elementares sobre os números primos e sua distribuição, equações Diofantinas, a importância das congruências e as recentes aplicações da Teoria dos Números à Criptografia moderna. Serão ainda descritos alguns dos mais intrigantes problemas em aberto, que resistiram já aos ataques de várias gerações de matemáticos.