A Teoria dos Números, o ramo da Matemática que lida com as propriedades e relações entre números inteiros, poderá parecer, ao não-iniciado, um ramo bem mais simples que a Trigonometria, ou a Análise Infinitesimal ou a Geometria, por exemplo. Afinal os números inteiros são talvez os objectos matemáticos mais simples. Mas, curiosamente, albergam segredos profundos e verdadeiramente surpreendentes, tendo originado ao longo da história questões que têm desafiado as mentes mais brilhantes, algumas das quais estão ainda por responder!
Nesta palestra falaremos de algumas das notáveis contribuições de Euler nesta área da Matemática, um dos seus grandes mestres de todos os tempos.
Falaremos de algumas contribuições de Leonhard Euler para a Matemática Recreativa. Nomeadamente, abordaremos o seu trabalho no problema das pontes de Königsberg, na factorização do número de Fermat de ordem 5, na teoria dos números perfeitos e dos números amigos, na construção de quadrados mágicos, nos percursos do Cavalo de xadrez…
A abordagem será coloquial, pouco técnica, pretendendo dar uma boa ideia das ideias por trás dos resultados de Euler.
Qual o número possível de maneiras de trocar 1 euro em moedas mais baixas? Uma pergunta tão simples como esta (mas não esta — o euro não existia no século XVIII!) levou Euler a fundar um ramo novo da Matemática, a Teoria da Partições, que junta os ramos da Combinatória com a Teoria de Números.
Nesta palestra veremos algumas das contribuições mais frutuosas de Euler para a Teoria de Partições: funções geradoras, a igualdade entre partes distintas e pares e o famoso teorema pentagonal.
O método das cordas permite detectar pontos de coordenadas racionais em certas curvas planas. O que naturalmente o relaciona com o Último Teorema de Fermat. Veremos como também motiva a contribuição de Euler para este resultado famoso.
Nesta palestra tentaremos encontrar indícios de recepção dos trabalhos de Euler em Portugal no século XVIII, quer antes quer depois da Reforma Pombalina da Universidade de Coimbra
Uma grande parte da obra de Leonhard Euler na área da Matemática está ligada ao estudo das séries infinitas. Recorrendo muitas vezes à utilização de séries não convergentes como ferramenta essencial para este estudo, Euler limitou-se a dar, em geral, justificações que não satisfazem as normas da Matemática moderna. Assim, não pondo em causa a sua extraordinária intuição, Euler provocou durante os séculos passados posições críticas em relação ao rigor do seu raciocínio, incentivando, por outro lado, a realização de trabalhos para uma justificação a posteriori dos seus resultados.
Através de uma panorâmica sobre algumas das séries infinitas estudadas por Euler e da análise dos raciocínios que parecem problemáticos e pouco rigorosos, esta palestra tenciona contribuir para uma leitura mais profunda e historicamente mais justa da obra de Euler. Uma vez que permite lembrar algumas das áreas importantes no desenvolvimento actual da matemática, raramente mencionadas ou mesmo esquecidas no curriculum dos cursos leccionados (como, por exemplo, as teorias das séries divergentes e das séries asimptóticas, métodos da aceleração da convergência na análise numérica e a teoria das funções geradoras), a história das séries infinitas na obra de Euler representa uma boa oportunidade para alunos interessados na Matemática alargarem o seu conhecimento sobre algumas áreas da Análise Matemática clássica que sustentam a corrente da investigação actual.
Na sua solução do problema das pontes de Konigsberg, considerada pedra basilar da teoria dos grafos, Euler nota as características básicas de um modo de pensar topológico e, por isso, este marco da história da matemática, é também frequentemente apontado como o surgimento da topologia. Mas foi através das generalizações a novos domínios da celebérrima Fórmula de Euler que a topologia verdadeiramente se tornou uma disciplina matemática.
Se a influência de Euler, em particular, a sua notável Introductio in analysin infinitorum, foram determinantes na evolução da noção matemática de função, em particular, para o moderno tratamento das funções trigonométricas e as relações com a função exponencial, as sua ideias sobre a analogia mecânica entre a propagação da luz e do som, incluindo o seu contributo para a resolução da equação das ondas, e a sua teoria da consonância no seu Tentamen novae theoriae musicae, ainda hoje são exemplos marcantes da sua originalidade e da sua imortalidade.