HISTÓRIA E EPISTEMOLOGIA DA MATEMÁTICA - 2002/03
António Machiavelo

Quarta 5/03:

Adição de fracções e problemas de complementação no papiro de Rhind (PR de agora em diante): resolução dos problemas 7, 19, 21 e 22 do PR.

Duplicação de fracções unitárias: dois exemplos do PR.

Os problemas 1-6 do PR: divisão de 1, 2, 6, 7, 8, 9 pães por 10 homens.

Resolução de equações (lineares com uma só incógnita): o método da "falsa posição".

T.P.C.:

Problema PR 23: completar 1/4 1/8 1/10 1/30 1/45 para 2/3 (usar 45 como múltiplo comum... a resposta é 1/9 1/40...).
Usar o método dado na aula para decompor 2/19 e 2/37 numa soma de fracções egípcias.

Observação: Foi distribuída uma folha contendo a "tabela" inicial do PR, que fornece uma decomposição, em certo sentido óptimal, das fracções da forma 2/n com n ímpar e a variar de 3 a 101 em fracções unitárias (de facto o que o PR contém é o resultado da divisão de 2 por n (n ímpar e a variar de 3 a 101) expresso na notação então usada para fracções, que incluia apenas símbolos para fracções unitárias e para 2/3); e os problemas 24 e 40 do PR em linguagem hierática com tradução para hieróglifos e inglês.

Sexta 7/03:

Como exemplo de resolução de equações (lineares com uma só incógnita) contidos no PR foram estudados os problemas 24 e 32.

Exemplo de um problema contido no papiro de Berlin que envolve a resolução de um sistema constituído por uma equação do 2º grau e uma do 1º, pelo método da "falsa posição".

Descrição das unidades de comprimento (o côvado (real), o palmo e o khet), área (o setat), volume (o hekat, o khar e o ro), inclinação ou declive (o seked) e qualidade ou factor de diluição(o pesu) usadas pelos antigos egípcios. As "fracções do olho de Hórus".

Exemplo do cálculo do seked de uma pirâmide: o problema 56 do PR.

T.P.C.:

Provar que toda a fracção da forma a/b com a<b (a e b números naturais) se pode escrever como soma de fracções unitárias distintas, e que tal pode ser feito com um número de parcelas menor ou igual a a.

[Desafio extra: será que tal pode ser "visto" por métodos análogos aos fornecidos no PR para escrever 2/n em notação egípcia?]

Resolver pelo método da falsa posição os problemas 25, 26 e 27 do PR: x + (1/2) x = 16 ; x + (1/4) x = 15 ; x + (1/5) x = 21.
Resolver o problema 31 do PR: x + (2/3) + (1/2) x + (1/7) x = 33 pelo método utilizado no problema 32 do PR.
O Problema 57 do PR: Qual a altura de uma pirâmide cujo seked é 5 1/4 e cuja base mede 140 côvados?