Contexto: um certo número de pessoas, os eleitores, têm de escolher de um modo democrático um de entre vários candidatos ou uma de entre várias alternativas.

Suposição: cada eleitor fornece uma lista (o seu boletim de voto ou lista de preferências) dessas alternativas, ordenadas de acordo com a sua ordem de preferência.

Problema: arranjar um processo, método ou algoritmo, um sistema eleitoral ou de votação, que decida, a partir do conjunto das listas de preferência, a que se chama o perfil eleitoral, uma ordenação das alternativas que reflicta o melhor possível as preferências dos eleitores.

Exemplo:

Sistema Uninominal: A ordenação das alternativas é feita contando, para cada uma, o número de boletins de voto em que esta ficou colocada em primeiro lugar, e as alternativas são ordenadas por ordem crescente do correspondente número de votos obtidos.

Contagem de Borda: A cada posição do boletim de voto é atribuido um número de pontos: 0 para a última, 1 para a penúltima, etc..., adicionando-se 1 ponto quando se passa de uma posição para a imediatamente acima. Os pontos "ganhos" por cada alternativa são totalizados, e as alternativas são ordenadas por ordem crescente de pontos obtidos.
 
 

Sistema de Hare: Elimina(m)-se, em eleições sucessivas, a(s) alternativa(s) com o menor  número de primeiros lugares, sendo as alternativas ordenadas por ordem  inversa de eliminação.

Sistema Sequencial aos Pares com Agenda: Depois de acordada uma ordenação preliminar das alternativas, a que se chama uma agenda consideram-se os resultados de eleições de pares de alternativas, pela ordem dada na agenda, eliminando as derrotadas da agenda  e prosseguindo até a agenda conter apenas um elemento. As alternativas  são finalmente ordenadas por ordem inversa de eliminação da agenda.

Considere-se o seguinte perfil eleitoral de uma eleição envolvendo 30 eleitores e 4 alternativas:
 
 

Na tabela seguinte indicam-se, para este perfil, as ordenações finais para cada um dos sistemas eleitorais acima descritos:
 
 
 

Deste exemplo se conclui que o resultado de uma eleição pode depender bastante do sistema eleitoral usado !

As condições seguintes parecem (à primeira vista...) ser imprescindíveis para que um sistema de votação democrático traduza as preferências dos eleitores.

Condição de Pareto (ou de unanimidade): Se a alternativa X ficou colocada acima da alternativa Y em todos os boletins de voto então na lista final deve ter-se X>Y. #ExI

Critério do Vencedor de Condorcet (CVC): Se existir um vencedor de Condorcet, este deve ser o vencedor da eleição.

Monotonia: Se de uma eleição para outra, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a posição de um dos candidatos for alterada, em um ou mais boletins de voto, mas sempre a favor desse candidato, então a sua posição na ordenação final não deve ser inferior à posição em que ficou colocado na primeira eleição. #ExII

Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI): Se em duas eleições distintas, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a ordem relativa de dois dos candidatos não foi alterada em nenhum boletim de voto, então a ordem relativa desses mesmos candidatos no resultado final deve ser a mesma. #ExIII

Simetrias:

Igualdade (ou Anonimato): Permutar as listas de preferência, sem as alterar, não deve ter nenhum efeito no resultado da eleição.

Neutralidade: Se todos os eleitores cometerem o erro de trocar as alternativas X e Y, então basta trocar X com Y no resultado final para corrigir o erro.
 
 

I. O Sistema Sequential aos Pares com Agenda não satisfaz a condição de Pareto!

Exemplo:

Considere-se o seguinte perfil
 

com agenda: ABCD.

Tem-se:     ABCD --> ACD --> CD --> D    ~~~~~~>    D > C > A > B

D é o vencedor apesar de todos os eleitores preferirem B a D !
 
 

II. O Sistema de Hare não satisfaz a condição de Monotonia!

Exemplo:

Considere-se o seguinte par de eleições, em que na segunda delas 3 dos eleitores alteram os seus boletins de voto de B > A > C para A > B > C, uma mudança favorável a A, enquanto os outros eleitores não alteram as suas listas de preferências.
 
 

Resultados:
 

III. A contagem de Borda não satisfaz IAI.

Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos eleitores (4) mudam a sua lista de preferências, mas ninguém altera a posição relativa de A versus B.
 
 
 

Resultados:

Tem-se:
 

Em 1951, Kenneth Arrow (prémio Nobel da Economia em 1972) provou o seguinte resultado:
 

Teorema: Não existe nenhum sistema de votação que satisfaça simultaneamente as condições de Pareto, IAI e igualdade!
 

Ideia da demonstração: Pareto + IAI  =>  existência de um ditador...
 
 

O seguinte resultado, que pode ser usado para provar o teorema de Arrow (ver [Ta95]), põe em evidência o facto de que a condição IAI é demasiado "forte".

Teorema: Quando o número de candidatos (ou alternativas) é igual ou superior a 3, qualquer sistema que satisfaça as condições IAI e Pareto é um sistema que não admite empates.

Demonstração:

Suponhamos que tal não acontecia, ou seja que existia um perfil para o qual há duas alternativas, X e Y, que resultam empatadas:

Seja Z uma terceira alternativa qualquer (cuja existencia é garantida por uma das hipóteses feitas). Uma vez que o sistema satisfaz IAI e a condição de Pareto, resulta que se, numa nova eleição, os eleitores com X > Y colocassem Z entre X e Y, enquanto que aqueles com X < Y colocassem Z acima de Y, ter-se-ia:

Agora, se todos os eleitores trocarem Y com Z, o que não altera as posições relativas de X vs. Y e de X vs. Z...
 

o que contradiz a hipótese de o sistema verificar a condição de Pareto.

Em particular, resulta que um sistema que satisfaça IAI e a condição de Pareto desempataria o perfil completamente empatado:
 

o que mostra que a condição IAI faz autênticos milagres !...

Saari, em [Sa97], dá um exemplo semelhante ao que se segue, mostrando que o vencedor de Condorcet não é invariante para a "adição de empates".
 
 

Isto mostra que a condição CVC não é tão indiscutívelmente razoável quanto possa parecer numa primeira análise...

[Ar63]   Kenneth J. Arrow, Social Choice and Individual Values, Yale University Press, 1963 (2ª edição) [original: 1951].

[Sa91]   Donald G. Saari, A Fourth Grade Experience, CiteSeer 1991(?).

[Sa95]   ______________, Basic Geometry of Voting, Springer-Verlag, 1995.

[Sa97]   ______________, The Symmetry and Complexity of Elections, Complexity 2 (1997) 13--21.

[Sa99]   ______________, Explaining all three-alternative voting outcomes, Journal of Economic Theory 87 (1999) 313--335.

[Sa00i]  ______________, Mathematical structure of voting paradoxes I: pairwise voting, Economic Theory 15 (2000) 1--53.

[Sa00ii] ______________, Mathematical structure of voting paradoxes II: positional voting, Economic Theory 15 (2000) 55--101.

[SV98]  ______________ and F. Valognes, Geometry, Voting, and Paradoxes, Mathematics Magazine 71 (1998) 243--256.

[Ta95]   Alan D. Taylor, Mathematics and Politics, Springer-Verlag, 1995.