Generalidades sobre os números racionais: origem e explicações geométricas para a soma e o produto serem dadas pelas expressões que os alunos já conhecem do ensino básico. Prova de que a/b < c/d (a, b, c, d inteiros com c>0 e d >0) implica a/b < (a+c) / (b+d) < c/d. Em particular fica assim provado que entre dois quaisquer números racionais há um número racional (e , por conseguinte, uma infinidade...).
O Teorema de Pitágoras (que  aparece já no seio da civilização Babilónica, mais um milénio antes de Pitágoras ter nascido: ver o teorema de Pitágoras na Matemática Babilónica): uma demonstração (este site contém 40 demonstrações diferentes! ver também este), e o seu possível papel na descoberta dos números irracionais.
Prova de que a raiz quadrada de 2 não é um número racional.
 

Sexta 15/11:

Prova de que todo o número racional é dado por uma dízima finita ou periódica e que, reciprocamente, toda a dízima finita ou periódica corresponde a um número racional. Exemplos.
Demonstração do seguinte resultado: as raízes racionais de um polinómio de coeficientes inteiros, f(x) = an x^n + ... + a1 x + a0 , têm necessariamente a forma r/s com r | a0 , e  s| an . Uso deste resultado para mostrar que certos números são irracionais.
Introdução das noções de número algébrico e de número transcendente. Exemplos.