Esta disciplina tem como principais objectivos: aprofundar os conhecimentos sobre os diversos tipos de números (inteiros, racionais, reais e complexos), solidificando alguns dos conhecimentos adquiridos no ensino secundário; fornecer algumas das ferramentas básicas que são utilizadas em muitas das outras disciplinas do curso de Matemática e Matemática Aplicada à Tecnologia. Nomeadamente, são apresentados os resultados básicos de aritmética racional, factos elementares sobre a representação de um racional em dízima infinita, as noções de número algébrico e de número transcendente, e história do aparecimento dos números complexos e aplicações destes à geometria do plano. Paralelamente, são dadas as noções básicas de teoria dos conjuntos e de cardinalidade.

0. Preliminares

• Breve introdução à linguagem Matemática: noções básicas de lógica (uso em Matemática das conectivas «e», «ou», «implica», «se e só se»; e dos quantificadores «para todo(s)» e «existe (pelo menos um)») e de teoria dos conjuntos.
• Observações gerais sobre demonstrações em Matemática: redução ao absurdo; o método de indução.

• Números Perfeitos.
• Algumas ferramentas básicas: o algoritmo de divisão, o algoritmo de Euclides e os teoremas binomial e multinomial.
• Os números primos: infinidade do conjunto dos números primos; alguns exemplos de resultados conhecidos assim como questões em aberto sobre os números primos.
• Congruências: propriedades básicas-
• O "pequeno" teorema de Fermat e a sua generalização por Euler.
• Cálculo de phi(n), a função de Euler, em termos da factorização de n em números primos.
• Inversos módulo n.
• O código RSA.

• Generalidades sobre os números racionais.
• O teorema de Pitágoras e os números irracionais.
• Números algébricos e números trancendentes.

• Conjuntos equipotentes: definição e exemplos.
• Conjuntos numeráveis: exemplos e resultados básicos (reuniões e produtos finitos de conjuntos numeráveis são numeráveis).
• Numerabilidade do conjunto dos números algébricos e não-numerabilidade do conjunto dos números reais.
• Teorema de Schroder-Bernstein.
• Paradoxos da teoria dos conjuntos e a sua importância histórica.

• Descrição detalhada da introdução histórica dos números complexos: fórmula resolvente do terceiro grau e observações de Cardano e de Bombelli.
• Digressão trigonométrica: as fórmulas de adição do seno e do coseno.
• Representação geométrica dos números complexos.
• Raízes da unidade e raízes de um número complexo.
• O conjugado e o módulo.
• Significado geométrico da soma e produto de complexos. Aplicações geométricas dos números complexos.

Serão realizados 2 mini-testes nas aulas práticas (em datas a anunciar), cada um valendo 3 pontos que podem ser utilizados como créditos para o exame final.
Os alunos não inscritos nas aulas práticas poderão ir aos mini-testes, sendo-lhes atribuída uma turma aonde poderão ir fazer o teste, sendo essa informação afixada na página da disciplina (em http://www.fc.up.pt/cmup/home/ajmachia/TME03main.html).
O exame final consistirá de 3 partes: as duas primeiras correspondendo aos mini-testes. Nessas duas primeiras partes os alunos poderão utilizar a pontuação obtida nos mini-testes, se assim o desejarem.