TÓPICOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - 2002/03 - António Machiavelo

Terça 2/12:

Observação: a expansão de um número racional em dízima não é única. Por exemplo: 0,(9) = 1. De facto toda a dízima finita pode ser escrita como uma dízima infinita periódica. Mas todo o número real tem uma única representação em dízima infinita.
Definição das noções de conjuntos equipotentes e de conjunto numerável. Prova de que Z, o conjunto dos números inteiros, e de que Q^+, o conjunto dos números racionais positivos, são ambos numeráveis.
Provamos que a reunião de dois conjuntos numeráveis é ainda um conjunto numerável.
Demonstração de que [0,1], e portanto R (o conjunto dos números reais) não é numerável!
Contamos uma variação da história clássica do Hotel de Hilbert ...

Quinta 4/12:

Demonstração dos resultados seguintes:

A reunião de uma colecção numerável de conjuntos numeráveis é ainda um conjunto numerável.
Q, o conjunto dos números racionais, é numerável.
O produto de um número finito de conjuntos numeráveis é um conjunto numerável.

Vimos em seguida que o conjunto dos números algébricos é numerável. Como corolário resulta que o conjunto dos números transcendentes não é numerável!!
Provamos que o conjunto das subconjuntos (ou partes), P(A), de um conjunto A não é equipotente a A, e descrevemos alguns dos paradoxos da teoria dos conjuntos (ver A history of set theory).
Demos uma ideia da demonstração do teorema de Schröder-Bernstein (a existência de funções injectivas de um conjuntoA num outro conjunto B, e vice-versa, implica que estes são equipotentes).