Tudo sobre o Teorem Chinês dos Restos...
Prova de que Z[sqrt(d)] é um Domínio Euclideano (e portanto um DFU) para d = +/- 1, +/- 2.

T.P.C.: Dados m1,...,mk, primos entre si dois-a-dois,exibir o inverso do isomorfismo canónico Z/ m1...mk Z ---->Z/m1 Z x ... x Z/mk Z dado por x --> (x,...,x).

Sexta 22/11:

Prova de que Z[w] é um Domínio Euclideano (e portanto um DFU), onde w é um raiz primitiva cúbica da unidade.
Demonstração do seguinte resultado que é muito importante para determinar as unidades de certos anéis:
Se A é um anel e f : A -> Z é tal que f(ab) = f(a) f(b) para todos a, b em A; f(1) =1, a | f(a) para todo a em A [onde f(a) é visto como elemento de A via o homomorfismo (de anéis) canónico de Z em A (o único que envia 1 em 1...)], então u é uma unidade de A sse f(u) = +/- 1.
Exemplos: cálculo das unidades de Z[sqrt(d)] para d = +/- 1, +/- 2 e das unidades de Z[w].

T.P.C.:

• Prove que Z[sqrt(-3)] não é um domínio Euclidiano (de facto não é sequer um DFU...).
• Mostre que se u é uma unidade de um anel qualquer, então +/- u^n também é uma unidade para todo n em Z.
• Usando a técnica dada nas aulas, dar o maior número possível de exemplos de anéis Euclideanos da forma Z[(1+sqrt(d))/2] com d = 1 (mod 4).