Resolução detalhada e completa da equação diofantina Y³ = X² + 2.
Desafio #1: Determinar os
irredutíveis e os primos dos anéis Zn[X],
com n composto. Algum destes anéis é um anel de
factorização única ?
Desafio #2: Resolver a equação
diofantina Y³ = X² - 2.
Sexta 29/11:
Prova do seguinte resultado, que permite obter informação sobre os primos e os irredutíveis de alguns importantes subanéis dos complexos:
Seja A um subanel de C, o corpo dos números complexos, tal que os únicos racionais em A sejam os inteiros, seja K o corpo das fracções de A (em C), e sejam s1, s2, ... , sn: K --> K, n aplicações não-nulas e tais que:Descrição dos primos de Z[i] e prova do teorema de Fermat relativo aos primos que são soma de dois quadrados (e portanto diagonais de triângulos pitagóricos).Então:
- Para todo i =1, ..., n, si (xy) = si (x) si (y) para todos x, y em K;
- Para todo i =1, ..., n, si (A) está contido em A;
- N(x) := s1 (x) s2 (x) ... sn (x) é racional, para todo x em K.
- Se N(a) é primo em Z para um certo a em A, então a é irredutível em A.
- Todo o primo de A divide um e um só primo de Z.