Alguns resultados sobre números perfeitos ímpares. Começamos por provar que têm de ter pelo menos 3 factores primos. Em seguida demontramos que têm de ter a forma p^m*s², com p e m congruentes com 1 modulo 4 (mais um resultado de  Euler). Finalmente provamos que têm de ter pelo menos 4 factores primos (tendo um dos casos finais a que se reduz a demonstração ficado como exercício). De passagem foi mencionado que Sylvester demonstrou em 1888 que um número perfeito ímpar (se existir...) tem de ter pelo menos 5 factores primos.

T.P.C.: Encontrar soluções (de preferência famílias infinitas) das equações: (i) sigma(n) = 2n-1, (ii) sigma(n) = 2n+1.

Sexta 27/9:

Generalidades sobre a função zeta de Riemann, funções aritméticas e séries de Dirichlet. Produto (ou convolução) de Dirichlet de duas funções aritméticas. Função de Moebius. Fórmulas de inversão de Moebius.
Digressão: conjecturas de von Sterneck e Mertens sobre a  média assimptotica da função de Moebius.

T.P.C.: Provar a primeira forma de inversão de Moebius.