Area: Sistemas Dinâmicos

Descrição: Em 1966, Abraham Robinson com a publicação do seu livro ``Non-standard Analysis'' [ro] recupera a noção de infinitésimo informalmente introduzida nos trabalhos de Newton e Leibnitz e, com o auxílio dos métodos da Lógica Moderna e da Teoria de Modelos, cria os fundamentos do que hoje é conhecida por Análise não standard
Com a Análise não standard é criado um corpo $ ^*\R$ (o conjunto dos números hyper-reais) mais amplo que o conjunto dos números reais $\R$, que contém entidades cujo valor absoluto é mais pequeno que qualquer elemento positivo de $\R$ - os infinitésimos. Além dos infinitésimos $ ^*\R$ também contém números infinitos e permite extender qualquer função $f$ a uma função $ ^*f$ em $ ^*\R$ com as ``mesmas'' propriedades da função inicial. Grande parte da análise dita clássica pode ser formulada e deduzida de um modo mais simples com recurso a estas entidades não standards.
Neste projecto começar-se-à por reformular os conceitos elementares de sistemas dinâmicos (órbitas, recorrência, atractores, etc...) em termos das entidades não standard tais como os infinitésimos, o conjunto $^*\N$ dos hyper-inteiros. Numa segunda fase, serão deduzidas provas de resultados clássicos que sejam significativamente mais simples de obter com o recurso aos novos objectos proporcionados pela abordagem não-standard.

Pré-requisitos: Dois primeiros anos da Licenciatura em Matemática ou equivalente.

Objectivos: Estudo dos rudimentos da análise não-standard, com aplicações no estudo das funções reais de variável real (continuidade, diferenciabilidade e integração).
Aplicações da análise não-standard no estudo de sistemas dinâmicos com ênfase nos sistemas discretos unidimensionais.

Nos. Clausus: 3

Bibliography:
Devaney, Robert L. - An Introduction To Chaotic Dynamical Systems . 2Nd Ed. Redwood City : Addison-Wesley, 1989.
Goldblatt, Robert - Lectures On The Hyperreals : An Introduction To Nonstandard Analysis. New York : Springer-Verlag, 1998.
Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris - Introduction To The Modern Theory Of Dynamical Systems . Cambridge : Cambridge University Press, 1995.
Robinson, Abraham - Non-Standard Analysis. Amsterdam : North-Holland, 1966.
Robinson, Clark - Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics, And Chaos. Boca Raton : Crc Press, 1995.
Pinto, Jose J. M. Sousa - Métodos Infinitesimais de Analise Matematica. Lisboa : Fundação Calouste Gulbenkian, 2000