Analise não-standard em sistemas
dinâmicos
Area: Sistemas Dinâmicos
Descrição: Em 1966, Abraham Robinson com a publicação do seu livro
``Non-standard Analysis'' [ro] recupera a noção de
infinitésimo informalmente introduzida nos trabalhos de Newton e
Leibnitz e, com o auxílio dos métodos da Lógica Moderna e da
Teoria de Modelos, cria os fundamentos do que hoje é conhecida por
Análise não standard
Com a Análise não standard é criado um corpo $ ^*\R$ (o conjunto
dos números hyper-reais) mais amplo que o conjunto dos
números reais $\R$, que contém entidades cujo valor absoluto é
mais pequeno que qualquer elemento positivo de $\R$ - os
infinitésimos. Além dos infinitésimos $ ^*\R$ também contém
números infinitos e permite extender qualquer função $f$ a
uma função $ ^*f$ em $ ^*\R$ com as ``mesmas'' propriedades da
função inicial. Grande parte da análise dita clássica pode ser
formulada e deduzida de um modo mais simples com recurso a estas
entidades não standards.
Neste projecto começar-se-à por reformular os conceitos
elementares de sistemas dinâmicos (órbitas, recorrência,
atractores, etc...) em termos das entidades não standard tais como
os infinitésimos, o conjunto $^*\N$ dos hyper-inteiros.
Numa segunda fase, serão deduzidas provas de resultados
clássicos que sejam significativamente mais simples de obter com o
recurso aos novos objectos proporcionados pela abordagem não-standard.
Pré-requisitos: Dois primeiros anos da Licenciatura em Matemática ou equivalente.
Objectivos: Estudo dos rudimentos da análise
não-standard, com aplicações no estudo
das funções reais de
variável real (continuidade, diferenciabilidade e
integração).
Aplicações da análise
não-standard no estudo de sistemas dinâmicos
com ênfase nos sistemas discretos unidimensionais.
Nos. Clausus: 3
Bibliography:
Devaney, Robert L. - An Introduction To Chaotic Dynamical Systems
. 2Nd Ed. Redwood City : Addison-Wesley, 1989.
Goldblatt, Robert - Lectures On The Hyperreals : An Introduction To
Nonstandard Analysis. New York : Springer-Verlag, 1998.
Katok,
Anatole; Hasselblatt, Boris - Introduction To The Modern Theory Of
Dynamical Systems . Cambridge : Cambridge University Press, 1995.
Robinson, Abraham - Non-Standard Analysis. Amsterdam :
North-Holland, 1966.
Robinson, Clark - Dynamical Systems.
Stability, Symbolic Dynamics, And Chaos. Boca Raton : Crc Press, 1995.
Pinto, Jose J. M. Sousa - Métodos Infinitesimais de Analise
Matematica. Lisboa : Fundação Calouste Gulbenkian, 2000