Balança algébrica de Bérard


Descrição

   Seja $O$ a origem de um sistema de eixos $OX$ e $OY$, e representemos os gráficos das funções:


\begin{displaymath}\begin{array}{lll} y&=&x\\ y&=&x^2\\ y&=&x^3\\ y&=&x^4\\ &\vdots&\\ \end{array} \end{displaymath}

Podemos continuar indefinidamente esta construção para graus superiores. No entanto, vamos apenas limitar-mo-nos à construção de parábolas até ao $4^o$ grau, o que permitirá resolver equações de $3^o$ grau, como veremos.

Todos estes gráficos passam pelos pontos $O$ e $K=(1,1)$. Supômos, além disso, que $ON=1$. Tracemos ainda os gráficos das funções:


\begin{displaymath} \begin{array}{lll} y&=&-x\\ y&=&-x^2\\ y&=&-x^3\\ y&=&-x^4\\ &\vdots&\\ \end{array} \end{displaymath}

que passam pelos pontos $O$ e $K'$.

Consideremos agora uma régua $MM'$ perpendicular ao eixo $OX$, e Imaginemos que se colocam pesos nos pontos $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $A$, $B$, $C$, $D$, podendo estes deslizar ao longo das curvas já referidas. O aparelho assim construído, pode servir para resolver uma equação de $3^o$ grau, da qual conhecemos os seus coeficientes. Vejámos como.



 



Consideremos a equação

\begin{displaymath}a_0x^3+ a_1x^2+ a_2x+a_3=0\end{displaymath}

Para resolver esta equação suspende-se um peso igual a $a_3$ no ponto $A$, se $a_3$ é positivo, ou no ponto $A'$, se $a_3$ é negativo. De igual modo, suspende-se um peso igual a $a_2$ no ponto $B$, se $a_2$ é positivo, ou no ponto $B'$, se $a_2$ é negativo (os outros dois pesos são suspensos de maneira análoga). Sendo assim, a régua oscilará em torno do ponto $P$ e quando ficar em equilíbrio, $x=\frac{OP}{ON}$ será a solução procurada da equação.

Vejamos por exemplo a equação:


\begin{displaymath}2x^3-x^2+2x-1=0\end{displaymath}










Demonstração
   

Seja $\frac{OP}{ON}=\theta$. Tem-se que:


\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \vspace{0.3cm} \frac{PA}{NK}&=&\theta\... ...^3\\ \vspace{0.3cm} \frac{PD}{NK}&=&\theta^4\\ \end{array}\end{displaymath}

O equilíbrio verifica-se quando a equação dos momentos é satisfeita, isto é, quando

\begin{displaymath}a_0\theta^4+ a_1\theta^3+ a_2\theta^2+a_3\theta=0\end{displaymath}

(tendo em conta os respectivos sinais). Tem-se então que:



\begin{displaymath}\theta=0 \ \ \ \ \ \ \ {\hbox{ou}} \ \ \ \ \ \ \ \ a_0\theta^3+ a_1\theta^2+ a_2\theta+a_3=0\end{displaymath}


Como $\theta\neq 0$, tem-se que $x=\theta$ é solução da equação $a_0x^3+ a_1x^2+ a_2x+a_3=0$.