Exercícios de Estatística Bayesiana software bayesiano (Paulino et al., 2018)
Um sistema analítico que auxilia a determinação do tipo de sangue, segundo o grupo ABO, consiste na observação em cada pessoa de uma variável aleatória \(X\) com função densidade. \[ f(x\mid\theta)=e^{-(x-\theta)}I_{(\theta,+\infty)}(x),\quad \theta>0. \]
A classificação em cada tipo de sangue depende do valor de \(\theta\) segundo a seguinte correspondência:
\[ \begin{array}{lll} 0<\theta<1 &\Longrightarrow &\text{tipo}\ 0 \\ 1\leq\theta<2 &\Longrightarrow &\text{tipo}\ A \\ 2\leq\theta<3 &\Longrightarrow &\text{tipo}\ B \\ \theta\geq 3 &\Longrightarrow &\text{tipo}\ AB \\ \end{array} \]
A distribuição da caraterística \(\theta\) sobre o universo das pessoas num dado momento é da forma. \[ h(\theta)=e^{-\theta}I_{(0,+\infty)}(\theta). \]
Determine a probabilidade a priori de uma pessoa escolhida ao acaso ter cada um dos tipos de sangue.
Atualize as probabilidades de (a) para uma pessoa cuja análise resultou no valor \(X=4\).
O número de navios que em cada dia entra a barra de determinado rio possui uma distribuição Poisson de média \(\theta\) cuja distribuição a priori é Exponencial de média 1. Sabendo-se que em 5 dias se observaram as entradas 3, 5, 4, 3 e 4:
Determine a distribuição de \(\theta\).
Obtenha intervalos de credibilidade a 90% e 95% para \(\theta\).
Calcule o fator de Bayes da hipótese de a média diária de navios que entram a barra ser superior a 3.8.
Nota 1: Se \(Z \sim \text{Gamma}(a,b)\), \(2b\,Z \sim \chi_{(2a)}^2\).
Determine uma reparametrização \(\psi=g(\theta)\) cuja distribuição a priori de Jeffreys, \(h(\psi)\), seja constante, nos seguintes cenários:
\(X|\theta\sim \text{Poisson}(\theta)\).
\(f(x|\theta)=\theta(1-\theta)^{x-1}I_{{I\kern-0.37emN}}(x)\).
\(X|\theta \sim \text{Gamma}(\alpha,\theta^{-1}),\ \alpha=1,2\).
Nota 2: Note-se que \(h(\theta) = h(\psi(\theta))\,\psi'(\theta)\).
Seja \({\cal F}=\left\{f(x\mid\theta)=\theta^{-1}I_{\left[0,\theta\right]}(x),\,\theta>1\right\}\) em que \(\theta\) está distribuído a priori de acordo com a densidade \[ h(\theta)=\theta^{-2}I_{(1,+\infty)}(\theta). \] Feita uma observação obteve-se \(X=x_1>1\).
Determine o intervalo HPD a \(100\gamma\%\) para \(\theta\) e diga para que valores de \(x_1\) tem maior amplitude que o respetivo intervalo de credibilidade a priori.
Determine a probabilidade preditiva de uma 2ª observação de \(X\) exceder \(x_1\).
Mostre que se \(x_1<1\) o intervalo HPD a \(100\gamma\%\) tem a forma \(\left(1,(1-\gamma)^{-\frac{1}{2}}\right)\).
Seja \(X\) o número de defeitos por metro de uma peça de fazenda modelado segundo uma distribuição \(Poi(\theta)\), com o número esperado de defeitos por metro distribuído a priori segundo o membro da família conjugada natural com valor esperado 1 e variância \(1/2\). O resultado da inspeção de \(n\) metros de uma peça escolhida aleatoriamente originou para \(\theta\) a posteriori um valor esperado de 1.5 e uma variância de 0.125.
Deduza o número de metros inspecionados e o correspondente número médio dedefeitos por metro.
\(a)\, P(O)=0.6321;\ P(A)=0.2326;\ P(B)=0.0855;\ P(AB)=0.0498\). \(b)\, P(O|x=4)=P(A|x=4)=P(B|x=4)=P(AB|x=4)=0.25\).
\(a)\,\text{Gama}(20,6)\). \(b)\,\text{IC}(\theta;0.90)=(2.1129,4.5232)\); \(\text{IC}(\theta;0.95)=(1.9431,4.8199)\). \(c)\,14.58\).
\(a)\,\psi=\sqrt{\theta}\). \(b)\,\psi=\ln \frac{1-\sqrt{1-\theta}}{1+\sqrt{1-\theta}}\). \(c)\,\psi=\ln{\theta}.\)
\(a)\,\text{IC HPD}: \left[x_1, x_1 \sqrt{(1-\gamma)^{-1}}\right]\). \(b)\,1/3\).
\(n=10,\,\bar{x}=1.6\).
Paulino, C.D., Amaral Turkman, M.A., Murteira, B., Silva, G.L. (2018). Estatística Bayesiana, 2ª edição Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. Book webpage