Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante (igual a 2a). |
| No
applett da esquerda pode variar, com o rato, a distância focal 2c
e o eixo maior 2a. É claro que 2a>2c. |
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A elipse tem por eixos a recta determinada pelos focos F e F', e a perpendicular a esta recta que passa no ponto médio O do segmento FF'. O diz-se o centro da elipse. AA' é o seu eixo maior. BB' o eixo menor. Os pontos A,A'.B e B' são os vértices da elipse. No triângulo rectângulo OFB, tem-se que |OF|=c, |BF|=a e |OB|=b. |
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No
applett pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode
mudar ainda a posição de O e do eixo maior.
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Os círculos directores da elipse são os dois círculos que têm raio 2a e centro em cada um dos focos. A elipse é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um dos focos e do círculo director correspondente ao outro foco. |
| Nos
applets
representa-se o círculo
director de centro F' e raio 2a. A distância |PD| é sempre
igual à distância |PF|, para todo o ponto P da elipse.
Para construir a elipse conhecendo os seus focos F e F' e o círculo director de centro F' e raio 2a, procede-se da seguinte forma: 1. traça-se um raio qualquer F'D 2. une-se D com F 3. traça-se a mediatriz de DF 4. corta-se o raio F'D por esta mediatriz. O ponto P assim obtido pertence à elipse (ver o applett da esquerda). De facto, |PD|=|PF| e portanto |F'P|+|PF|= |F'P|+|PD|=2a. |
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Propriedade óptica da elipse A tangente à elipse, num ponto qualquer P, faz ângulos iguais com os raios vectores de P, relativos aos focos. |
| No
applett da esquerda, os ângulos assinalados a vermelho são
iguais. No
applett pode variar, com o rato, os semieixos maior a e menor b. Pode
mudar ainda a posição do ponto P. No applett da direita,
vê-se um bilhar elíptico - quando as bolas saiem de um dos
focos e são reflectidas pela parede do bilhar, dirigem-se para o
outro foco.
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O círculo principal de uma elipse é o círculo de centro O (o centro da elipse) e raio a (=semieixo maior). Teorema de La Hire O círculo principal de uma elipse é o lugar geométrico das projecções dos focos sobre as tangentes. |
| No
applett da esquerda pode variar, com o rato, os semieixos maior a e
menor b. Pode
mudar ainda a posição do ponto P. Os pontos Q e Q'
são as projecções (ortogonais) dos focos F e F',
respectivamente, sobre a tangente à elipse em P.
Corolário: O produto das distâncias dos focos de uma elipse a uma tangente qualquer é constante: |F'Q'|.|FQ|=b^2=constante. |
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Teorema de Poncelet: 1º. as tangentes a uma elipse, traçadas a partir de um ponto exterior M, fazem ângulos iguais com as rectas que unem M aos dois focos. 2º. a recta que une um ponto exterior M a um dos focos é a bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores que unem esse foco aos dois pontos de contacto. |
| Nos
appletts pode variar, com o rato, os semieixos maior a e
menor b. Pode
mudar ainda a posição do ponto M. Os pontos C e C'
são os pontos de contacto das tangentes à elipse tiradas
a partir de M.
No applett da esquerda os ângulos C'MF' e CMF são iguais. No applett da direita, os ângulos C'F'M e CF'M são iguais, isto é, F'M é bissectriz do ângulo C'F'C. |
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Uma elipse pode
ser gerada pelo
movimento de um ponto M que percorre o círculo principal. Para
determinar o ponto correspondente P da elipse,
traçamos o raio
OM, intersectámo-lo com o círculo centrado em O e de raio
b, obtendo assim o ponto Q, e traçamos as paralelas aos eixos a
partir desse ponto Q.
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Uma elipse é o lugar
geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a
um ponto fixo F (foco)
e a uma recta fixa d (directriz),
que não
contem F, é constante. A esta constante chama-se a excentricidade
e da elipse. 0<e<1.
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No applett pode variar, com o rato, a excentricidade e, bem como a distância do foco à directriz. A razão distância(P,F):distância(P;d) é constante e igual a e. Note que, quando e=1, obtem-se uma parábola. A elipse tem dois focos e duas directrizes, situadas simetricamente relativamente ao seu centro. |