Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante em valor absoluto (igual a 2a). |
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No
applett pode variar, com o rato, a distância focal 2c
e a distância 2a entre os vértices A e A'. É claro
que 2a<2c.
A hipérbole tem por eixos de simetria a recta que une os dois focos e a perpendicular a esta recta que passa no ponto médio O entre os focos. O ponto O diz-se o centro da hipérbole. O eixo FF' diz-se o eixo transverso e o eixo BB' o eixo não transverso. No triângulo assinalado tem-se que |OA|=a, |OC=|OF|=c e |OB|=b. As rectas vermelhas são as assímptotas da hipérbole. Para construir pontos da hipérbole procede-se da seguinte forma: tomamos um ponto qualquer D sobre o eixo transverso; traçamos então dois círculos - um com centro em F e raio |DA| e outro com centro em F' e raio |DA'|. A intersecção destes dois círculos dá um ponto sobre a hipérbole. |
Uma hipérbole pode ser construída com uma régua e com um fio como se indica no applett. |
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Os
círculos
directores da hipérbole são os dois
círculos que têm raio 2a e centro em cada um dos focos. A
hipérbole é o lugar geométrico dos pontos
equidistantes de
um dos focos e do círculo director correspondente ao outro foco.
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Nos applets
representa-se o círculo
director de centro F' e raio 2a. A distância |PQ| é sempre
igual à distância |PF|, para todo o ponto P da
hipérbole.
Para construir a hipérbole conhecendo os seus focos F e F' e o círculo director de centro F' e raio 2a, procede-se da seguinte forma: 1. traça-se um raio qualquer F'Q 2. une-se Q com F 3. traça-se a mediatriz de QF 4. corta-se o raio F'Q por esta mediatriz. O ponto P assim obtido pertence à hipérbole (ver o applett da esquerda). De facto, |PQ|=|PF| e portanto |PF'-PF| = |PF'-PQ|=2a. |
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Propriedade
óptica da hipérbole
A tangente à hipérbole, num ponto qualquer P, faz ângulos iguais com os raios vectores de P, relativos aos focos. |
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No
applett da esquerda, os ângulos assinalados são
iguais. No
applett pode variar, com o rato, 2a e 2c. Pode
mudar ainda a posição do ponto P. No applett da direita,
vê-se um bilhar hiperbólico - quando uma bola se dirige
para um dos focos é reflectida pela parede do bilhar,
dirigindo-se para o
outro foco.
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O
círculo
principal de uma hipérbole é o círculo de
centro O (o
centro da elipse) e raio a (=semieixo transverso).
Teorema de La Hire O círculo principal de uma hipérbole é o lugar geométrico das projecções dos focos sobre as tangentes. |
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No
applett pode variar, com o rato, o eixo transverso 2a, e a
distância focal 2c. Pode
mudar ainda a posição do ponto P. Os pontos Q e Q'
são as projecções (ortogonais) dos focos F e F',
respectivamente, sobre a tangente à hipérbole em P.
Corolário: O produto das distâncias dos focos de uma hipérbole a uma tangente qualquer é constante: |F'Q'|.|FQ|=b^2=constante. |
Teorema
de Poncelet
1º. as tangentes a uma hipérbole, traçadas a partir de um ponto exterior M, fazem ângulos iguais com as rectas que unem M aos dois focos. 2º. a recta que une um ponto exterior M a um dos focos é a bissectriz do ângulo formado pelos raios vectores que unem esse foco aos dois pontos de contacto. |
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Nos
appletts pode variar, com o rato, o eixo transverso a, e a
distância focal 2c. Pode
mudar ainda a posição do ponto M. Os pontos C e C'
são os pontos de contacto das tangentes à
hipérbole tiradas
a partir de M.
No applett da esquerda os ângulos C'MF' e CMF são iguais. No applett da direita, os ângulos C'F'M e CF'M são iguais, isto é, F'M é bissectriz do ângulo C'F'C. |
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Uma hipérbole é o
lugar
geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a
um ponto fixo F (foco)
e a uma recta fixa d (directriz),
que não
contem F, é constante. A esta constante chama-se a excentricidade
e. e>1.
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No
applett pode variar, com o rato, a excentricidade e, bem como a
distância do foco à directriz. A razão
distância(P,F):distância(P;d)
é constante e igual a e. A hipérbole tem dois focos e
duas directrizes, situadas
simetricamente relativamente ao seu centro.
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