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I. O Compasso perfeito

       O compasso perfeito é composto por quatro partes articuladas, representadas na figura seguinte:



e que passamos a descrever:

1.
o ``plano da base" que contem a "recta do centro" $ DE$.
2.
o ``eixo do compasso" $ AC$, que pode rodar em torno do ``centro" $ A$, mantendo-se sempre no plano vertical $ \Pi$, que é perpendicular ao plano da base, intersectando-o segundo a recta $ DE$.
3.
a ``recta do vértice" $ BP$, que pode rodar em torno do ponto $ B$, chamado o ``vértice". Consideramos a posiçãoinicial desta recta $ BP$, no plano $ \Pi$, quando fazemos a escolha do ângulo no vértice $ { \beta}=\measuredangle(ABP)$.

De seguida fazemos esta recta rodar em torno do eixo $ AB$, gerando desta forma um cone de revolução $ {\mathscr{C}}$ de vértice $ B$ (supondo que $ { \beta}\neq \pi/2$. Neste caso obtem-se um plano, é claro!).

4.
A recta $ BP$ é ela própria o suporte de um tira-linhas, que pode deslizar nesta recta, para que a sua extremidade $ P$ trace uma curva (de facto, uma cónica) no plano da base.

      
       O applet seguinte ilustra esta descrição, bem como os papeis desempenhados pelos vários elementos do compasso perfeito.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).



       Tudo depende do ângulo $ { \beta}=\measuredangle(ABP)$ e do ângulo $ \alpha= \measuredangle(EAC)$, formado pelo eixo do compasso com o plano da base (ver a figura anterior).

       Seja $ BK$ a perpendicular baixada de $ B$ sobre o plano da base. A natureza da curva, traçada por $ P$, depende do ângulo $ \measuredangle(PBK)$.

Temos que:

$\displaystyle \measuredangle(ABK)=\frac{\pi}{2}-{ \alpha}; \ \ \ \ \ \measuredangle(PBK)={ \beta}-{ \alpha}+\frac{\pi}{2}$

       Designemos por $ {\mathscr{C}}$ o cone de revolução de vértice $ B$, gerado ao rodar a recta do vértice $ PB$, em torno do eixo $ AB$.

Portanto:

  • se:


$ \measuredangle(PBK)<\frac{\pi}{2} \ \ \Leftrightarrow \ \ { \alpha}>{ \beta} $
a curva traçada por $ P$ é uma elipse.

      De facto, neste caso, o plano da base (plano secante) intersectará todas as geratrizes do cone $ {\mathscr{C}}$ numa mesma folha, e por isso, a curva que não é mais do que a intersecção do cone $ {\mathscr{C}}$ com este plano secante, é uma elipse.


  • se:

$ \measuredangle(PBK)=\frac{\pi}{2} \ \ \Leftrightarrow \ \ { \alpha}={ \beta} $,
a curva traçada por $ P$ é uma parábola.

       De facto, neste caso, o plano da base (plano secante) será paralelo à geratriz $ BG$, como se representa na figura seguinte.





  • se:

$ \measuredangle(PBK)>\frac{\pi}{2} \ \ \Leftrightarrow \ \ { \alpha}<{ \beta} $
a curva traçada por $ P$ é um ramo de hipérbole.


       De facto, neste caso, o plano da base (plano secante) intersectará todas as geratrizes do cone $ {\mathscr{C}}$ em duas folhas. 





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