Para essa demonstração apenas é necessária a proposição XI.21, segundo a qual a soma dos ângulos que incidem num mesmo vértice é inferior a 360º.

• Suponhamos que o poliedro regular tem todas as faces triangulares (equiláteras). Os ângulos de cada face têm pois todos 60º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exactamente 3, a soma dos ângulos dos 3 triângulos incidentes em cada vértice é exactamente 3 x 60º = 180º; se incidem exactamente 4, essa soma é de 4 x 60º = 240º e se incidem exactamente 5, essa soma é de  5 x 60º = 300º. Se incidissem 6 ou mais triângulos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo 3 sólidos regulares com faces triangulares (equiláteras).

• Suponhamos agora que o poliedro regular tem todas as faces quadradas. Os ângulos de cada face têm agora 90º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exactamente 3, a soma dos ângulos dos 3 quadrados incidentes em cada vértice é exactamente 3 x 90º = 270º. Se incidissem 4 ou mais triângulos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo um sólido regular com faces quadradas.

• Suponhamos agora que o poliedro regular tem todas as faces pentagonais (regulares). Os ângulos de cada face têm agora ((5 - 2 ) x 180º) : 5 = 108º. Em cada vértice têm que incidir pelo menos três faces. Se incidem exactamente 3, a soma dos ângulos dos 3 pentágonos incidentes em cada vértice é exactamente 3 x 108º = 324º. Se incidissem 4 ou mais pentágonos, essa soma seria superior a 360º o que não é possível. Portanto existem no máximo um sólido regular com faces pentagonais.

Um raciocínio análogo permite concluir que não podem existir poliedros regulares com faces hexagonais ou com mais lados.