Coupled cell systems: the interplay of network structure and dynamics

About

Os sistemas de células acopladas (SCA) são formados por sistemas dinâmicos individuais (as células) que interactuam. Aqui, uma célula corresponde a um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDO). A arquitectura dos SCA é codificada em termos de um grafo direccionado - a rede de células acopladas (RCA)- indicando quais as células que são idênticas, quais as células que interactuam e quais as interacções (acoplamentos) que são do mesmo tipo (SGP03), (GST05). Neste plano de investigação focámo-nos no papel da arquitectura da rede na dinâmica associada ao sistema de células acopladas.\nAs redes não isomorfas que apresentam a mesma dinâmica são denominadas EDO-equivalentes. Em (DS05) é apresentado um critério algébrico para avaliar a EDO-equivalência e em (AD07) é definida e descrita minimalidade de EDO-classes de redes. Ambos os resultados são algébricos. Pretendemos descrever estes resultados em termos da estrutura da rede (grafo). Ou seja, pretendemos usar algoritmos de grafos para estabelecer a transição entre redes EDO-equivalentes e gerar as redes minimais de cada EDO-classe.\nTendo como objectivo o desenvolvimento de uma teoria de bifurcação global para SCA, assim como, entender os fenómenos recorrentes forçados pela arquitectura da rede, iremo-nos focar no problema de encontrar condições para a estrutura da rede suportar ciclos heteroclínicos robustos. Os ciclos heteroclínicos robustos estão sempre associados com a presença de subespaços invariantes pelo fluxo. EM (GST05) é descrita a existência de subespaços - os subespaços de sincronia - considerando igualdades entre certos grupos de coordenadas de células, que são invariantes pelo fluxo de qualquer SCA associado com uma dada RCA. Isto é efectuado em termos de uma propriedade combinatória que depende somente da arquitectura da rede. Planeamos começar pela descrição da dinâmica global que pode ocorrer para redes pequenas. O nosso objectivo de longo prazo é desenvolver uma estratégia coerente para analisar a dinâmica de redes grandes em termos de pequenos módulos onde a dinâmica é bem conhecida. Em particular, iremo-nos focar na construção de famílias infinitas de redes que possuem características dinâmicas comuns (tais como ciclos e redes heteroclínicas), assim como em maneiras de combinar redes pequenas com dinâmica conhecida por forma a construir redes maiores com propriedades dinâmicas específicas. Estão planeadas duas estratégias para abordar este problema: Para qualquer subespaço de sincronia determinado por uma rede, as restrições dos SCA originais a esse subespaço correspondem a SCA associados com uma rede menor - a rede quociente. A dinâmica associada a uma rede quociente descreve (parcialmente) dinâmica síncrona na rede inicial. Iremos usar as técnicas em (ADGL07), (ADGL09) de enumeração das redes que admitem uma mesma rede quociente, assim como redes produto (dadas duas redes, cada nodo de uma rede é substituído por uma cópia da outra rede).\nO termo `bifurcação (local) com quebra de simetria¿ no contexto simétrico é substituído pelo conceito de `bifurcação (local) com quebra de sincronia¿ em redes e corresponde à situação em que um estado síncrono perde estabilidade e aparecem outros estados. No contexto simétrico, técnicas baseadas em representações de grupos têm um papel importante na análise das bifurcações locais em sistemas simétricos (GSS88),(GS05). Uma questão fundamental que podemos colocar é se existe uma teoria análoga para redes em termos do conjunto de todas as simetrias locais da rede.

Research Group
Duration
38months
Financial Support
29 760EUR
Start Date

Internal Coordinator

Integrated member
Assistant Professor
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Internal Members

Financial Support

FCT