Resolução  mecânica da equação cúbica

João Nuno Tavares





       Em 1884, Reuschle imaginou a seguinte resolução  mecânica da equação cúbica:

$\displaystyle x^3+ax^2+bx=c$ (1)

       Começou por pôr $ x$ em evidência no primeiro membro:
 
$\displaystyle x^3+ax^2+bx=x\underbrace{(x^2+ax+b)}_y=c$

       Definindo $ y$ por:

$\displaystyle y=x^2+ax+b$
transformou então a equação dada (1) na forma:
$\displaystyle xy=c$

       Se completarmos quadrados em $ x$, na equação do segundo grau $ y=x^2+ax+b$, vem que:

$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^2+ax+b$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( x+\frac{a }{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+b$ (2)

isto é:
$\displaystyle \underbrace{y+\frac{a^2}{4}-b}_Y=\big(\underbrace{ x+\frac{a }{2}}_X\big)^2$
ou ainda:
$\displaystyle Y=X^2$
onde pusemos:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} X&=&x+\frac{a}{2}\\ Y&=&y+\frac{a^2}{4}-b\end{array}\right.$ (3)

       Consideremos um referencial cartesiano fixo $ oxy$ e um outro móvel $ OXY$, onde $ O$ tem coordenadas $ \left(-\frac{a}{2},b-\frac{a^2}{4}\right)$, relativamente ao referencial fixo.

       As equações (3) exprimem a igualdade vectorial:

$\displaystyle \overrightarrow{oP}=\overrightarrow{oO}+\overrightarrow{OP}$ (4)

O vector $ \overrightarrow{oO}$ é o vector que translada a origem $ o$ do referencial fixo para a origem $ O$ do referencial móvel.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).


       Os cálculos anteriores mostram portanto que a parábola de equação $ Y=X^2$, relativamente ao referencial móvel, tem, relativamente ao referencial fixo, a equação $ y=x^2+ax+b$.

       Podemos então resolver a equação cúbica (1) pelo processo seguinte:

  • desenhámos a parábola $ Y=X^2$ numa folha de papel transparente móvel.
  • traçámos a hipérbole $ xy=c$ numa mesa fixa.
  • deslocámos por translacção (sem rodar) a folha de papel para que a sua origem coincida com o ponto $ p$ da mesa de coordenadas $ \left(-\frac{a}{2},b-\frac{a^2}{4}\right)$
  • lemos as abcissas dos pontos de interescçãoda parábola com a hipérbole - os valores obtidos são as soluções da equação dada.

       No applet seguinte fez-se esta construção para a equação:

$\displaystyle x^3+2x^2-3x=1$

Neste caso $ a=2,b=-3,c=1$ e $ p=(-1,-4)$.


       No applet, pode controlar com o rato a posição da origem $ O$ do referencial móvel (o vértice da parábola), desenhado na folha de papel transparente, representada pelo rectângulo côr de rosa. Deve fazer coincidir $ O$ com o ponto $ p=(-1,-4)$, para obter as raízes da equação dada, isto é as abcissas dos pontos verdes no eixo dos $ xx$, que podem ser lidas no applet.


Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

       De forma análoga podemos resolver a equação do quarto grau:

$\displaystyle ax^4+bx^3+cx^2=dx+1$
pondo:
$\displaystyle x^2\underbrace{(ax^2+bx+c)}_y=dx+1$

   As soluções resultam da intersecção da parábola $ Y=aX^2$, convenientemente transladada, com a hipérbole cúbica $ x^2y=dx+1$.



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The command line arguments were:
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The translation was initiated by Joao Nuno Tavares on 2005-04-15