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$\begin{displaymath}p(x)= a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n\end{displaymath}$

com coeficientes reais, para cada valor da variável $x\in{\rm I\!R}$ . Esta construção, que foi mais tarde popularizada por Lagrange, está esquematizada nas figuras seguintes:

Figura 1

Figura 2

$\begin{displaymath}\overline {A_0A_1}=a_0,\ \ \overline {A_1A_2}=a_1, \ \ \overl... ...erline {A_{n-1}A_n}=a_{n-1},\ \ \overline {A_{n}A_{n+1}}=a_{n}\end{displaymath}$

Cada um destes segmentos $\overline {A_iA_{i+1}}=a_i$ deve ser dirigido para baixo se fôr positivo, e para cima quando fôr negativo.

Pelo último ponto assim obtido, $A_{n+1}$ , traçámos uma recta perpendicular à anterior, orientada para a direita, a que chamámos o eixo dos xx. Neste eixo, marcámos o ponto $I$

, tal que $\overline {A_{n+1}I}=1$ , e traçámos uma recta perpendicular $IR_0$

. O ponto

é o ponto de intersecção desta recta com a paralela ao eixo dos xx, que passa em $A_0$

. Unimos ainda o ponto $R_0$

ao ponto

$\begin{displaymath}P_1,R_1, \ \ P_2,R_2, \ \ \cdots \ \ P_{n-1}R_{n-1}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\overline {R_0B_1}=y_0,\ \ \overline {R_1B_2}=y_1, \ \ \overl... ...=y_{n-1},\ \ \overline {R_{n}B_{n+1}}=\overline {XP_{n}}=y_{n}\end{displaymath}$

e o par de triângulos semelhantes I e II, representados na figura 2. Daí concluímos que:

$\begin{displaymath}y_1:1=(y_2-a_2):x, \ \ \ \ \ \ \ {\hbox{isto \'e}} \ \ \ \ \ \ \ y_2=y_1x+a_2\end{displaymath}$

e, procedendo de forma análoga relativamente aos outros pares de triângulos semelhantes , obtemos as equações:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} y_0&=& a_0\\ y_1&=&y_0\,x+a_1\\ y_2&=... ...n-1}&=&y_{n-2}\,x+a_{n-1}\\ y_n&=&y_{n-1}\,x+a_n \end{array}\end{displaymath}$

donde se deduzem, por eliminações sucessivas:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} y_1&=&a_0\,x+a_1\\ y_2&=&a_0x^2+a_1x+a_... ...\\ y_n&=&a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n \end{array}\end{displaymath}$

o que termina a demonstração do método de Segner.


Construção de Segner

	Depois de Descartes numerosos matemáticos interessaram-se pela construção de equações, isto é, pela determinação geométrica (ou gráfica) das raízes de uma equação algébrica. Em 1761, Johann Andreas von Segner propôs uma construção gráfica, bastante simples, que permite calcular o valor , de uma função polinomial do tipo: $\begin{displaymath}p(x)= a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n\end{displaymath}$ com coeficientes reais, para cada valor da variável $x\in{\rm I\!R}$ . Esta construção, que foi mais tarde popularizada por Lagrange, está esquematizada nas figuras seguintes: Figura 1 Figura 2
Descrição detalhada da construção	Passemos à descrição detalhada da construção: Na recta vertical $A_0A_{n+1}$ , orientada positivamente no sentido descendente, e a partir de uma origem fixa , marcámos sucessivamente pontos $A_1,A_2,\cdots,A_n,A_{n+1}$ de tal forma que: $\begin{displaymath}\overline {A_0A_1}=a_0,\ \ \overline {A_1A_2}=a_1, \ \ \overl... ...erline {A_{n-1}A_n}=a_{n-1},\ \ \overline {A_{n}A_{n+1}}=a_{n}\end{displaymath}$ Cada um destes segmentos $\overline {A_iA_{i+1}}=a_i$ deve ser dirigido para baixo se fôr positivo, e para cima quando fôr negativo. Pelo último ponto assim obtido, $A_{n+1}$ , traçámos uma recta perpendicular à anterior, orientada para a direita, a que chamámos o eixo dos xx. Neste eixo, marcámos o ponto , tal que $\overline {A_{n+1}I}=1$ , e traçámos uma recta perpendicular . O ponto é o ponto de intersecção desta recta com a paralela ao eixo dos xx, que passa em . Unimos ainda o ponto ao ponto . Finalmente, para obter o valor de , marcámos o ponto no eixo dos xx, tal que $\overline {A_{n+1}X}=x$ , e traçámos, por , uma recta perpendicular $\ell$ , a esse eixo. Marcámos então o ponto de intersecção dessa recta com a recta . Por , traçámos a paralela ao eixo dos xx, determinámos o ponto que então unimos ao ponto , calculando assim o ponto na recta $\ell$ . Procedendo sucessivamente desta forma, obtemos uma sucessão de pontos: $\begin{displaymath}P_1,R_1, \ \ P_2,R_2, \ \ \cdots \ \ P_{n-1}R_{n-1}\end{displaymath}$ Marcámos por último, a intersecção da recta $\ell$ com a recta que une $R_{n-1}$ a . O valor de é então o igual a $\overline {XP_n}$ .
Animação da construção	Esta construção está esquematizada na figura 1, e ilustrada no applet seguinte, onde podemos constatar que ela continua válida para coeficientes negativos e para todo o valor de x (positivo, negativo, maior ou menor que 1). Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). No applet, que por simplicidade está construído para uma equação do 3º grau, podemos modificar os segmentos $\overline {A_iA_{i+1}}=a_i$ , e o valor de x, para obter o gráfico de e, em particular, as raízes da equação .
Justificação teórica da construção	Para proceder à prova de que, de facto, $p(x)=\overline {XP_n}$ , desenhámos na figura 2, as rectas auxiliares, paralelas ao eixo dos xx, que passam nos pontos , o que permite determinar os pontos na recta . Consideremos ainda os comprimentos seguintes: $\begin{displaymath}\overline {R_0B_1}=y_0,\ \ \overline {R_1B_2}=y_1, \ \ \overl... ...=y_{n-1},\ \ \overline {R_{n}B_{n+1}}=\overline {XP_{n}}=y_{n}\end{displaymath}$ e o par de triângulos semelhantes I e II, representados na figura 2. Daí concluímos que: $\begin{displaymath}y_1:1=(y_2-a_2):x, \ \ \ \ \ \ \ {\hbox{isto \'e}} \ \ \ \ \ \ \ y_2=y_1x+a_2\end{displaymath}$ e, procedendo de forma análoga relativamente aos outros pares de triângulos semelhantes , obtemos as equações: $\begin{displaymath}\begin{array}{lll} y_0&=& a_0\\ y_1&=&y_0\,x+a_1\\ y_2&=... ...n-1}&=&y_{n-2}\,x+a_{n-1}\\ y_n&=&y_{n-1}\,x+a_n \end{array}\end{displaymath}$ donde se deduzem, por eliminações sucessivas: $\begin{displaymath}\begin{array}{lll} y_1&=&a_0\,x+a_1\\ y_2&=&a_0x^2+a_1x+a_... ...\\ y_n&=&a_0x^n+ a_1x^{n-1}+\cdots+ a_{n-1}x+a_n \end{array}\end{displaymath}$ o que termina a demonstração do método de Segner.
Ilustração com o Geometer Sketchpad	A construção de Segner está ainda ilustrada na construção seguinte feita com o Geometer Sketchpad.
Aparelho de Rowning	A construção de Segner foi realizada materialmente no seguinte aparelho de Rowning (Philos. Trans. London Math. Soc. 60 (1770)):

Resolução gráfica de equações algébricas

João Nuno Tavares