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Teorema de Dandelin ... A secção de um cone circular recto por um plano que não passe pelo vértice, é uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola.


       Para uma exploração interactiva deste teorema, com excelentes applets, veja a página "Modelos computacionais na prova Matemática" da autoria de Marta Brandão.

       De seguida apresentamos uma prova formal deste teorema.



  •        Suponhamos, em primeiro lugar, que o plano secante encontra todas as geratrizes do cone numa mesma folha, como na figura ao lado, e consideremos o correspondente plano meridiano que é perpendicular ao plano secante $ AMA'$.

       Este plano intersectará o cone, segundo as duas geratrizes $ VA$ e $ VA'$ e o plano secante segundo a recta $ AA'$.

       Neste mesmo plano meridiano, tracemos as duas circunferências de centros $ O$ e $ O'$, respectivamente, a primeira acima de $ AA'$ e a segunda abaixo dessa mesma recta, e que sejam simultâneamente tangentes às geratrizes $ VA$ e $ VA'$ e ainda à recta $ AA'$, nos pontos $ F$ e $ F'$.

       Se rodarmos o plano meridiano em torno do eixo $ VO$, estas duas circunferências irão gerar duas esferas, tangentes á superfície cónica segundo os paralelos $ BGC$ e $ B'G'C'$, e tangentes ainda ao plano secante nos pontos $ F$ e $ F'$.

       Posto isto, consideremos um ponto $ M$ qualquer sobre a curva de intersecção do plano secante com o cone; tomemos as rectas $ MF$, $ MF'$ e a geratriz $ VM$ que intersectará, em $ G$ e em $ G'$, os paralelos $ BGC$ e $ B'G'C'$.

       Como as rectas $ MF$ e $ MG$ são ambas tangentes à esfera de centro $ O$, temos $ MF=MG$. Anàlogamente, como as rectas $ MF'$ e $ MG'$ são ambas tangentes à esfera de centro $ O'$, temos também que $ MF' = MG'$. Portanto:

$\displaystyle MF+MF'=MG+MG'=GG'=BB'=\hbox{constante}.$
o que permite já concluir que o lugar geométrico dos pontos $ M$ é uma elipse de focos $ F$ e $ F'$.

 
       Por outro lado, como $ AF$ e $ AB$ são ambas tangentes à esfera de centro $ O$, temos $ AB=AF$. De forma análoga, $ AB'=AF'$, e ainda:

$\displaystyle BB'=AB+AB'=AF+AF' \ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \

Resulta daí que:

$\displaystyle AF=A'F'\ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \ BB'=AA'.$

       A curva obtida, lugar geométrico dos pontos $ M$, é pois uma elipse cujos focos são $ F$ e $ F'$ e cujo eixo maior é $ AA'$.


       Se traçarmos $ A'H$ paralela a $ BC$, $ AH$ é a distância focal desta elipse. Com efeito,

$\displaystyle AF'=AB' \ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \ HB'=A'C'=AF$

       Os planos que contêm os paralelos $ BGC$ e $ B'G'C'$, prolongados até encontrarem o plano secante, intersectam-no em duas rectas paralelas $ DE$, $ D'E'$, que são perpendiculares ao plano meridiano anteriormente considerado.

       Se tomarmos agora o paralelo $ LML'$ do cone (não representado na figura), a sua intersecção com o plano secante é o segmento $ MP$, que é perpendicular ao eixo maior $ AA'$. A distância do ponto $ M$ à recta $ DE$ é pois representada pelo segmento $ PD$. Mas os triângulos $ \triangle(APL)$, e $ \triangle(AA'H)$, são semelhantes, e daí que:

$\displaystyle \frac{BL}{PD}=\frac{MF}{PD}=\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AA'}=\hbox{constante}.$

       Assim, as distâncias de cada ponto da elipse ao foco $ F$ e á recta $ DE$ estão entre si numa razão constante, o que mostra que a recta $ DE$ é uma das directrizes da elipse e a constante referida a respectiva excentricidade. A mesma demonstração aplica-se ao foco $ F'$ e á recta $ D'E'$. As rectas $ DE$, $ D'E'$, são pois as directrizes da elipse.


  • Suponhamos agora que o plano secante encontra as duas folhas do cone, como na figura ao lado.

       Neste caso, temos que:

$\displaystyle MF'-MF=MG'-MG=GG'=BB'=\hbox{constante}.$

Além disso:

$\displaystyle BB'=AB'-AB=AF'-AF \ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \ BB'=CC'=A'C-A'C'=A'F-A'F'.$

       Resulta então que:

$\displaystyle AF=A'F'\ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \ BB'=AA'$

       A curva obtida é pois uma hipérbole, tendo $ AA'$ como eixo transverso e os pontos $ F$ e $ F'$ como focos.


       Se traçarmos $ A'H$ paralela a $ B'C'$, $ AH$ é a distância focal desta hipérbole. Com efeito,

$\displaystyle AB'=AF' \ \ \ \ \ \hbox{e} \ \ \ \ \ B'H=C'A'=A'F'.$

       As rectas $ DE$ e $ D'E'$, intersecções dos planos que contêm os paralelos $ BGC$ e $ B'G'C'$, com o plano secante, são as directrizes da hipérbole. O quociente entre as distâncias do ponto $ M$ ao foco $ F$ e á recta $ DE$, respectivamente, é igual á excentricidade da curva, como resulta do facto dos triângulos $ \triangle(APL)$, $ \triangle(ADB)$ e $ \triangle(AA'H)$ serem semelhantes.





  •        Suponhamos finalmente que o plano secante é paralelo a uma das geratrizes do cone, como na figura 3.

       Tomemos o plano meridiano $ [LVL']$ perpendicular ao plano secante. Este último é paralelo á geratriz $ VL'$ e é intersectado pelo plano meridiano segundo a recta $ AP$, paralela a essa geratriz.

       No plano meridiano construímos a circunferência de centro $ O$, tangente ás geratrizes principais em $ B$ e em $ C$, e à recta $ AP$ no ponto $ F$. Se fizermos girar a figura em torno do eixo $ VO$, a esfera gerada pela circunferência de centro $ O$, é tangente ao cone segundo o paralelo $ BGC$ e toca o plano secante em $ F$.

       Tomemos um ponto qualquer $ M$ na curva de intersecção.

      A recta $ MF$ e a geratriz $ MV$, são ambas tangentes à esfera em $ F$ e em $ G$, respectivamente; tomemos igualmente o paralelo $ LML'$, que passa pelo ponto $ M$, e que intersecta o plano secante segundo a ordenada $ MP$ deste ponto em relação a $ AP$.

       Verifica-se então que:

$\displaystyle MF=MG=BL.$



       Por outro lado, a intersecção do plano secante e do paralelo $ BGC$ é uma recta $ DE$, perpendicular ao plano meridiano. $ PD$ representa a distância do ponto $ M$ á recta $ DE$. Mas os dois triângulos $ APL$ e $ ABD$ são ambos isósceles, uma vez que são ambos semelhantes ao triângulo $ VLL'$. Por isso, tem-se que:
 

$\displaystyle PD=BL$
ou seja:

$\displaystyle MF=PD.$

       A curva obtida é pois uma parábola cujo foco é o ponto $ F$ e a directriz é a recta $ DE$.




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