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I. Introdução

Consideremos dois planos ${\mathscr{M}}$ e ${\mathscr{F}}$ , a que chamamos plano móvel e fixo, respectivamente, e imaginemos que ${\mathscr{M}}$ se desloca sobre ${\mathscr{F}}$ .

Mais sugestivamente, imaginemos que o plano ${\mathscr{F}}$ é o plano de uma mesa e que ${\mathscr{M}}$ é uma placa plana de plástico (transparente) indeformável que deslocamos sobre a mesa. Nos instantes $t=0,1,2,\ldots$ a placa ${\mathscr{M}}$ ocupará determinadas posições sobre ${\mathscr{F}}$ , que designamos sucessivamente por ${\mathscr{M}}_0,{\mathscr{M}}_1,{\mathscr{M}}_2,\ldots$ .

Pontos e rectas de ${\mathscr{M}}$ serão designados por letras latinas maiúsculas $A,B,C,\ldots$ e minúsculas $\ell,m,r\ldots$ , respectivamente. No movimento de ${\mathscr{M}}$ sobre ${\mathscr{F}}$ um ponto $A\in{\mathscr{M}}$ ocupará sucessivamente as posições $A_0,A_1,A_2,\ldots$ em ${\mathscr{F}}$ , uma recta $ r$ de ${\mathscr{M}}$ ocupará sucessivamente as posições $r_0,r_1,r_2,\ldots$ em ${\mathscr{F}}$ , e anàlogamente para qualquer outra figura de ${\mathscr{M}}$ .

Pontos e rectas fixas de ${\mathscr{F}}$ serão designados por letras latinas minúsculas $a,b,c,\ldots$ e por letras gregas ${ \alpha},{ \beta},{ \gamma}\ldots$ , respectivamente. O movimento de ${\mathscr{M}}$ sobre ${\mathscr{F}}$ , será representado pela notação ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ .

Na figura seguinte ilustramos o que acabamos de referir, representando, para maior clareza de exposição, o plano ${\mathscr{M}}$ por um rectângulo limitado amarelo, transportando consigo um ponto $ A$ , uma recta $ r$ e uma estrela $ f$ . O plano ${\mathscr{F}}$ é o plano vermelho.

Durante este movimento, ambos os planos se mantêm indeformáveis, isto é, as distâncias entre os pontos de cada um mantêm-se inalteradas. Sendo assim, não é difícil mostrar que esse movimento fica completamente determinado conhecendo o movimento de dois quaisquer dos pontos de ${\mathscr{M}}$ .

Consideremos então dois pontos $A,B\in {\mathscr{M}}$ que, para duas posições sucessivas arbitrárias de ${\mathscr{M}}$ em ${\mathscr{F}}$ , ocupam as posições $ A_0,B_0$ e $ A_1,B_1$ , em ${\mathscr{F}}$ , como na figura seguinte:

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Através do ponto médio do segmento $ A_0A_1$

traçamos a perpendicular a este segmento, e, anàlogamente, através do ponto médio do segmento $ B_0B_1$

a respectiva perpendicular. Seja $i\in{\mathscr{F}}$ o ponto de encontro destas duas perpendiculares. Temos então que (porquê?):

$\displaystyle A_0i$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1i$
$\displaystyle B_0i$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B_1i$
$\displaystyle A_0B_0$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_1B_1$	(1)

Os triângulos $\triangle(A_0iB_0)$ e $\triangle(A_1iB_1)$ são pois iguais e daí que:

$\displaystyle \measuredangle(A_0iB_0)=\measuredangle(A_1iB_1)$

Vemos portanto que, por uma rotação em torno de $ i$ , o ponto $ A_0$ será transformado em $ A_1$ e simultâneamente, $ B_0$ em $ B_1$ . Como a posição de ${\mathscr{M}}$ em ${\mathscr{F}}$ fica completamente determinada pelas posições de dois dos seus pontos, concluímos que:

O movimento de ${\mathscr{M}}$ em ${\mathscr{F}}$ , da posição ${\mathscr{M}}_0$ para a posição ${\mathscr{M}}_1$ pode ser obtido por uma rotação em torno de um certo ponto fixo $i\in{\mathscr{F}}$ , que se chama por isso, o centro de rotação.

O que acabamos de dizer é independente das posições de ${\mathscr{M}}_0$ e ${\mathscr{M}}_1$ . Se estas posições se tornam infinitamente próximas, obtemos resultados aplicáveis a cada instante do movimento contínuo de ${\mathscr{M}}$ sobre ${\mathscr{F}}$ . A corda $ A_0A_1$ converge então para a tangente à trajectória de $ A$ , e a normal a essa corda, através do seu ponto médio, converge para a normal à trajectória de $ A$ que passa em $ A$ . Portanto:

Quando um plano ${\mathscr{M}}$ se desloca continuamente sobre um plano ${\mathscr{F}}$ , as normais às trajectórias de todos os seus pontos passam, em cada instante, por um mesmo ponto. O sistema executa nesse instante uma rotação infinitesimal em torno desse ponto que, por isso, se chama o centro instantâneo de rotação.

Para além das trajectórias dos pontos de ${\mathscr{M}}$ , é importante estudar a envolvente, no plano fixo, das diversas posições que uma recta (ou uma outra qualquer curva) de ${\mathscr{M}}$ ocupa, quando ${\mathscr{M}}$ se move sobre ${\mathscr{F}}$ . Aqui o resultado essencial é o seguinte:

Quando um plano ${\mathscr{M}}$ se desloca continuamente sobre um plano ${\mathscr{F}}$ , as normais às envolventes das rectas (e outras curvas) de ${\mathscr{M}}$ , nos pontos de contacto (pontos característicos) com essas rectas (ou curvas), passam todas pelo centro instantâneo de rotação. Esses pontos de contacto chamam-se pontos característicos da linha considerada.

Por outras palavras: o ponto em que (a posição de) uma recta de ${\mathscr{M}}$ , num certo instante, toca a sua envolvente em ${\mathscr{F}}$ , é o pé da perpendicular baixada do centro instantâneo de rotação sobre essa recta.

Vamos ver que, de facto, assim é. Para determinar o ponto característico, onde uma recta móvel $ AB$ toca, numa das suas posições, a curva envolvente das suas sucessivas posições em ${\mathscr{F}}$ , consideremos uma posição muito próxima $ A'B'$ dessa recta. Suponhamos que estas duas rectas, se intersectam num ponto $ C'$ de $ A'B'$ , e seja $ C$ o ponto de $ AB$ que corresponde ao ponto $ C'$ .

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$ C$ varia sobre $ AB$ ao mesmo que tempo que $ C'$ varia sobre $ A'B'$ e, no limite, quando $ A'B'$ se justapõe a $ AB$ , ambos os pontos convergem para o mesmo ponto de $ AB$ , que é exactamente o ponto característico de $ AB$ .

Mas, como sabemos, as perpendiculares aos segmentos $ CC'$ , que passam nos respectivos pontos médios, passam todas pelo centro de rotação $ i$ . Por outro lado, as rectas $ iC$ e $ iC'$ são normais às trajectórias desses pontos. Portanto no limite, a normal à recta $ AB$ , no seu ponto característico $ C$ , passa pelo centro instantâneo de rotação $ i$ .

Em particular, suponhamos que uma linha (recta ou uma outra curva) do plano móvel está condicionada a passar sempre por um certo ponto fixo de ${\mathscr{F}}$ (que é pois a envolvente das sucessivas posições dessa linha). Então, para uma posição instantânea de ${\mathscr{M}}$ , a normal a essa linha, elevada a partir desse ponto fixo, passa pelo centro instantâneo de rotação.

Como veremos nos vários exemplos que analisaremos em breve, estes princípios permitem construir geomètricamente:

o centro instantâneo de rotação;
as normais às trajectórias, em ${\mathscr{F}}$ , dos pontos de ${\mathscr{M}}$ ; e ainda,
os pontos característicos em que as (sucessivas posições das) linhas transportadas por ${\mathscr{M}}$ tocam as suas envolventes.

Nesses exemplos, o movimento ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ será definido:

pelas trajectórias de dois pontos de ${\mathscr{M}}$
pela trajectória de um ponto e pela envolvente de uma linha (que pode reduzir-se a um ponto)
pelas envolventes de duas linhas, que compreende o caso em que essas envolventes se reduzem a pontos
por um ponto pelo qual uma linha de ${\mathscr{M}}$ deve passar e pela trajectória de um ponto
por um ponto pelo qual uma linha de ${\mathscr{M}}$ deve passar e pela envolvente de uma linha de ${\mathscr{M}}$ .

Veremos de seguida várias aplicações geométricas dos princípios atrás enunciados, designados conjuntamente pelo chamado "método das normais".

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Joao Nuno Tavares 2005-04-12