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I. IntroduçãoConsideremos dois planos e , a que chamamos plano móvel e fixo, respectivamente, e imaginemos que se desloca sobre .
Mais sugestivamente, imaginemos que o plano é o plano de uma mesa e que é uma placa plana de plástico (transparente) indeformável que deslocamos sobre a mesa. Nos instantes a placa ocupará determinadas posições sobre , que designamos sucessivamente por . Pontos e rectas de serão designados por letras latinas maiúsculas e minúsculas , respectivamente. No movimento de sobre um ponto ocupará sucessivamente as posições em , uma recta de ocupará sucessivamente as posições em , e anàlogamente para qualquer outra figura de .
Pontos e rectas fixas de serão designados por letras latinas minúsculas e por letras gregas , respectivamente. O movimento de sobre , será representado pela notação .
Na figura seguinte ilustramos o que acabamos de referir,
representando, para maior clareza de exposição, o plano
por
um rectângulo limitado amarelo, transportando consigo um ponto , uma recta e uma estrela . O plano
é o plano
vermelho.
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Durante este movimento, ambos os planos se mantêm indeformáveis, isto é, as distâncias entre os pontos de cada um mantêm-se inalteradas. Sendo assim, não é difícil mostrar que esse movimento fica completamente determinado conhecendo o movimento de dois quaisquer dos pontos de .
Consideremos então dois pontos que, para duas posições sucessivas arbitrárias de em , ocupam as posições e , em , como na figura seguinte: |
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Através do ponto médio do segmento traçamos a
perpendicular a este segmento, e, anàlogamente, através
do
ponto médio do segmento a respectiva perpendicular.
Seja o ponto de
encontro destas duas perpendiculares.
Temos então que (porquê?):
Os triângulos e são pois iguais e daí que: Vemos portanto que, por uma rotação em torno de , o ponto será transformado em e simultâneamente, em . Como a posição de em fica completamente determinada pelas posições de dois dos seus pontos, concluímos que:
O que acabamos de dizer é independente das posições de e . Se estas posições se tornam infinitamente próximas, obtemos resultados aplicáveis a cada instante do movimento contínuo de sobre . A corda converge então para a tangente à trajectória de , e a normal a essa corda, através do seu ponto médio, converge para a normal à trajectória de que passa em . Portanto:
Para além das trajectórias dos pontos de , é importante estudar a envolvente, no plano fixo, das diversas posições que uma recta (ou uma outra qualquer curva) de ocupa, quando se move sobre . Aqui o resultado essencial é o seguinte:
Por outras palavras: o ponto em que (a posição de) uma recta de , num certo instante, toca a sua envolvente em , é o pé da perpendicular baixada do centro instantâneo de rotação sobre essa recta.
Vamos ver que, de facto,
assim é. Para determinar o ponto
característico, onde uma recta móvel toca, numa das suas
posições, a curva envolvente das suas sucessivas
posições em
, consideremos uma
posição muito próxima dessa
recta. Suponhamos que estas duas rectas, se intersectam num ponto
de , e seja o ponto de que corresponde ao ponto . |
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varia sobre ao mesmo que tempo que varia sobre e, no limite, quando se justapõe a , ambos os pontos convergem para o mesmo ponto de , que é exactamente o ponto característico de .
Mas, como sabemos, as perpendiculares aos segmentos , que passam nos respectivos pontos médios, passam todas pelo centro de rotação . Por outro lado, as rectas e são normais às trajectórias desses pontos. Portanto no limite, a normal à recta , no seu ponto característico , passa pelo centro instantâneo de rotação .
Em particular, suponhamos que uma linha (recta ou uma outra curva) do plano móvel está condicionada a passar sempre por um certo ponto fixo de (que é pois a envolvente das sucessivas posições dessa linha). Então, para uma posição instantânea de , a normal a essa linha, elevada a partir desse ponto fixo, passa pelo centro instantâneo de rotação.
Como veremos nos vários exemplos que analisaremos em breve,
estes
princípios permitem construir geomètricamente:
Nesses exemplos, o movimento será definido:
Veremos de seguida várias aplicações geométricas dos princípios atrás enunciados, designados conjuntamente pelo chamado "método das normais". |
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