II. O método das normais. Exemplos de Chasles

Primeira questão ... Suponhamos que o movimento é determinado pelas trajectórias de dois pontos de . Determinar os pontos característicos em que uma curva dada, em , toca a envolvente das suas sucessivas posições em .

       Já vimos antes a solução - num determinado instante, calculamos o centro instantâneo de rotação, traçando as normais às trajectórias dos dois pontos de referidos. Baixamos então, a partir do centro instantâneo de rotação, a normal à posição da curva referida, no instante considerado. O pé desta perpendicular é o ponto característico procurado.

       No applet seguinte,  um segmento , rigidamente ligado a , move-se de tal forma que as suas extremidades percorrem duas curvas fixas (duas elipses). O centro instantâneo de rotação , é o ponto de interseção das normais às elipses, nos pontos e . O ponto característico da recta , na posição representada, é o pé da perpendicular baixada de sobre essa recta. No applet, pode controlar o ponto com o rato.

       Um outro exemplo: quando as extremidades do segmento percorrem os lados de um ângulo recto, a envolvente (das sucessivas posições) desse segmento, é um astróide; a determinação do ponto característico , está ilustrada no applet seguinte:

      
      As duas curvas fixas de podem confundir-se numa só. Por exemplo, consideremos de novo um ângulo recto móvel cujos lados permanecem sempre tangentes a uma elipse (ou a uma hipérbole). A normal à curva descrita pelo vértice desse ângulo passa pelo ponto médio da corda que une os pontos de contacto e . Esta normal passa pois pelo centro da cónica, o que prova que a trajectória descrita por é um círculo chamado o círculo director da cónica.

        Concluindo:

Terceira questão ... O movimento é determinado por um certo ponto , que desliza sobre uma curva fixa em , e por uma certa curva de , que se move sempre tangencialmente a uma curva fixa de .     Pretende-se determinar a normal à trajectória de um ponto de e os pontos em que as sucessivas posições de tocam a sua envolvente.

       Solução - Num determinado instante, calculamos o centro instantâneo de rotação em . O pé da perpendicular baixada de sobre a posiçãode , no instante fixado é o seu ponto característico.

      Consideremos, por exemplo, uma elipse que se move sempre tangencialmente a uma certa linha recta e em que um dos focos percorre uma linha recta perpendicular à anterior.

       Para obter a normal à curva descrita por um ponto, rigidamente ligado a esta elipse, construímos o centro instantâneo de rotação .

      Consideremos, em particular, a normal à curva descrita pelo centro da elipse. será a normal à curva descrita por . Esta normal passa sempre pelo ponto onde concorrem as duas rectas fixas e . De facto, a recta , onde é o segundo foco, intersecta em , e tem-se que . Mas e portanto a recta é paralela a e passa pelo ponto médio de . Isto prova que esta recta é a diagonal do rectângulo e, portanto, passa por - ela é pois a normal à curva descrita por . Concluímos que descreve um círculo centrado em . Colocando a elipse de tal forma que os dois focos estejam sobre a recta , vemos que o raio deste círculo é igual ao semi-eixo maior.

Concluindo:

      "Se uma elipse se move sempre tangencialmente a um lado de um ângulo recto de tal forma que um dos seus focos percorre o outro lado desse ângulo, o centro da elipse descreve um círculo cujo centro é o vértice do ângulo e cujo raio é igual ao semieixo maior da elipse."

       Do foco baixamos perpendiculares sobre as tangentes . A normal em à curva lugar geométrico dos pés destas perpendiculares passa pelo ponto médio de . Se prolongamos a perpendicular até , de tal forma que , esta normal é paralela à recta que passa no segundo foco da cónica. Portanto a normal passa no ponto médio do segmento que une os dois focos, isto é, no centro da cónica. 

Concluindo:

• "Os pés das perpendiculares baixadas do foco de uma cónica sobre as tangentes estão sobre um círculo concêntrico à cónica, que se diz o círculo auxiliar da cónica."