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Exemplo 1. Um segmento move-se de tal forma que as suas extremidades estão sempre sobre os lados de um ângulo. Elipsógrafo.

Teorema de de La Hire.

No plano ${\mathscr{M}}$ fixamos dois pontos $ A$ e $ B$ , e no plano ${\mathscr{F}}$ fixamos duas rectas ${ \alpha}$ e ${ \beta}$ , concorrentes em $o\in{\mathscr{F}}$ . O plano ${\mathscr{M}}$ move-se sobre ${\mathscr{F}}$ de tal forma que $ A$ e $ B$ permanecem sempre em ${ \alpha}$ e ${ \beta}$ , respectivamente.

Quando as rectas as rectas ${ \alpha}$ e ${ \beta}$ são perpendiculares não é difícil mostrar que um ponto qualquer do segmento , traça uma elipse.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Consideremos agora uma posição arbitrária do segmento $ AB$ e tracemos o centro instantâneo de rotação $ i$ . No instante considerado, $ i$ está na intersecção das perpendiculares a ${ \alpha}$ e ${ \beta}$ que passam, respectivamente, nos pontos $ A$ e $ B$ .

Consideremos agora o círculo circunscrito ao triângulo $ AoB$ . Se supômos que este círculo está ligado ao segmento $ AB$ , durante o movimento ele passará sempre pelo ponto $ o$ . De facto, o ângulo $ AoB$ , medindo metade do arco invariável $ AB$ , compreendido entre os seus lados, não pode deixar de ser inscrito. O ponto $ i$ é a extremidade do diâmetro desse círculo, e o comprimento desse diâmetro, é igual a:

$$\displaystyle d=\frac{AB}{\sin\measuredangle(AoB)}\equiv\ \$

qualquer que seja a posiçãode $ A$

está pois sempre a uma distância constante e igual a $ d$

e portanto a base do movimento ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ é o círculo de centro $ o$

e raio igual a $ d$

O círculo de diâmetro $ oi$ , e centro , muda de posição com o segmento $ AB$ . Fixemos um ponto $ D$ qualquer nesse círculo. O arco $ AD$ permanece sempre constante. Portanto o ângulo $ AoD$ sendo constante e tendo o seu lado $ oA$ fixo, todo o ponto $ D$ do círculo $ oC$ , descreve uma recta $ oY$ fixa em ${\mathscr{F}}$ . Faça o teste no applet seguinte, controlando com o rato a posição do ponto $ A$ . Pode ainda redimensionar o comprimento do segmento $ AB$ , a posição de $ M$ nesse segmento e ainda a inclinação da recta ${ \alpha}$ .