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Exemplo 2. Um ângulo move-se de tal forma que os seus lados são sempre tangenciais a dois círculos dados

No plano ${\mathscr{M}}$ consideramos duas rectas $ r$ e $ s$ , que se intersectam no ponto $ V$ segundo um ângulo constante, e, no plano ${\mathscr{F}}$ , dois círculos ${\mathscr{C}}$ e ${\mathscr{D}}$ , de centros $ o$ e $ o'$ , respectivamente. No movimento ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ a recta $ r$ mantem-se sempre tangente a ${\mathscr{C}}$ e a recta $ s$ sempre tangente a ${\mathscr{D}}$ , como no applet seguinte:

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Pelos pontos $ o$ e $ o'$ tracemos paralelas a $ r$ e $ s$ , respectivamente, que se intersectam em $ Z$ . Durante o movimento, este ponto $ Z$ permanece sempre sobre o círculo que passa em $ o,o'$ e $ Z$ , uma vez que o ângulo $\measuredangle(oZo')$ é sempre constante. Por outro lado o ponto $ Z$ está rigidamente ligado a ${\mathscr{M}}$ , já que as suas distâncias às rectas $ r$ e $ s$ , de ${\mathscr{M}}$ , são constantes (e iguais aos raios dos círculos). O segmento $ VZ$ tem pois comprimento constante e faz sempre os mesmos ângulos com as rectas $ r$ e $ s$ .

Resulta daqui que, durante o movimento ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ , a recta $ VZ$ passa sempre por um mesmo ponto $ W$ do círculo $\odot(oo'Z)$ e portanto o ponto $ V$ descreve um concóide de círculo (ver o Apêndice), de pólo $ W$ e módulo $ VZ$ . De facto é um limaçon de Pascal (veja o applet).

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É claro que o centro instantâneo de rotação é o ponto $ i$

de encontro das normais a $ r$

e

traçadas a partir dos pontos de tangência com os círculos dados. A recta $ iV$

é pois normal ao limaçon de Pascal descrito por $ V$

e, recorrendo a uma normal a $ iV$

, passando em $ V$

, obtemos uma descrição tangencial desse mesmo limaçon.

O movimento ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ pode também ser obtido pelo movimento do ângulo constante $\measuredangle(oZo')$ , que se desloca de tal forma que os seus lados passam sempre pelos pontos fixos $ o$

e

. Este movimento é, por sua vez, o inverso do movimento em que o segmento de recta constante que une $ o$

a

, se desloca de tal forma que as suas extremidades percorrem os lados do ângulo $\measuredangle(oZo')$ , e que foi estudado no exemplo anterior. Portanto a base e a rolante do movimento ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ são, respectivamente, o círculo $\odot(oo'Z)$ e o círculo centrado em $ Z$

e de raio igual à distância de $ Z$

a

.

Nos applets seguintes mostram-se os dois movimentos ${\mathscr{M}}/{\mathscr{F}}$ e o seu inverso .

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Joao Nuno Tavares 2005-04-12