Teorema de Brianchon


Diagonais


Num hexágono não plano, contido num hiperbolóide de revolução, a recta que une os vértices de dois ângulos opostos chama-se uma diagonal. Existem pois três diagonais que unem os vértices dos três pares de ângulos opostos:

$\displaystyle \widehat{\,12\,} \ \ e \ \ \widehat{\,45\,} \ \ \ \ \ \



Teorema 5.1  

As três diagonais de um hexágono não plano intersectam-se num ponto.





Demonstração ... Consideremos os dois ângulos opostos $ \widehat{\,12\,} \ \ e e a diagonal correspondente $ a$ . Esta diagonal pertence à intersecção dos planos dos ângulos $ \widehat{\,14\,}$ e $ \widehat{\,25\,}$ 

Analogamente, a diagonal $ b$ , correspondente aos dois ângulos opostos $ \widehat{\,16\,} \ \ e \ \ \widehat{\,43\,}$ , pertence à intersecção dos planos dos ângulos $ \widehat{\,14\,}$ e $ \widehat{\,63\,}$ .

Finalmente, a diagonal $ c$ , correspondente aos dois ângulos opostos $ \widehat{\,32\,} \ \ e \ \ \widehat{\,65\,}$ , pertence à intersecção dos planos dos ângulos $ \widehat{\,36\,}$ e $ \widehat{\,25\,}$ .

As diagonais $ a$ e $ b$ pertencem pois a um mesmo plano - o plano do ângulo $ \widehat{\,14\,}$ . Analogamente, $ b$ e $ c$ pertencem ambas ao plano do ângulo $ \widehat{\,36\,}$ , e, finalmente, $ c$ e $ a$ pertencem ambas ao plano do ângulo $ \widehat{\,25\,}$ .

As três diagonais são, portanto, as arestas do ângulo triedral constituído pelos planos dos ângulos $ \widehat{\,14\,}$ , $ \widehat{\,36\,}$ e $ \widehat{\,25\,}$ . Elas passam pois todas pelo vértice deste triedro.

$ \blacksquare$ .


Hexágono circunscrito


Um hexágono circunscrito a uma secção cónica $ {\mathscr{C}}$ é constituído por:
1.
seis rectas quaisquer $ I,II,III,IV,V$ e $ VI$ - os lados do hexágono - tangentes à cónica, não importa onde.
2.
os seis pontos de intersecção seguintes desses lados - os vértices do hexágono - $ (I,II)$ , $ (II,III)$ , $ (III,IV)$ , $ (IV,V)$ , $ (V,VI)$ e $ (VI,I)$ .

É a configuração dual a um hexagrama inscrito na cónica (definição da secção 1).

Os pares de vértices:

$\displaystyle \framebox{$\ \ (I,II) \ \ \hbox{e} \

dizem-se os pares de vértices opostos, e as rectas que unem estes pares de vértices opostos chamam-se as diagonais do hexágono.


Teorema de Brianchon


O teorema fundamental sobre esta configuração foi descoberto pelo matemático francês Brianchon (1785-1864), e foi publicado no Journal de l'École Polytechnique em 1810. Diz o seguinte:

Teorema 5.2 (Teorema de Brianchon)  

Num hexágono circunscrito a uma secção cónica, as três diagonais intersectam-se num ponto.



Demonstração ...

Consideremos mais uma vez uma cónica $ {\mathscr{C}}$ , um hiperbolóide de revolução que a contem como secção plana, e um hexágono circunscrito a $ {\mathscr{C}}$ . Designemos por $ 1,2,3,4,5$ e $ 6$ os pontos de tangência dos lados do hexágono, com a mesma numeração, com $ {\mathscr{C}}$

Como fizemos na secção anterior, pelos pontos $ 1,2,3,4,5$ e $ 6$ , fazemos passar seis geradores, três directos $ 1,3,5$ e três inversos $ 2,4,6$ , formando um hexágono não plano contido no hiperbolóide.

Consideremos ainda um cone de vértice $ V$ , tangente ao hiperbolóide, e que contem a cónica $ {\mathscr{C}}$ .

 

Para cada um dos pontos $ 1,2,3,4,5$ e $ 6$ , consideremos o plano definido pela geratriz do cone e pelo gerador do hiperbolóide, que passam ambos nesse tal ponto. Cada um destes planos é tangente ao hiperbolóide, e passa pelo vértice $ V$ do cone tangente construído.

Consideremos a perspectiva, sobre o plano da secção cónica $ {\mathscr{C}}$ , de um observador cujo olho está colocado no vértice $ V$ .

Esta perspectiva projecta cada um dos geradores do hiperbolóide sobre uma recta tangente à cónica, situada no plano desta.

Desta forma, a perspectiva do hexágono não plano será a de um hexágono circunscrito à cónica, e a perspectiva de cada uma das diagonais do hexágono não plano será uma diagonal do hexágono circunscrito à cónica.

Mas, pelo teorema anterior, sabemos que as diagonais do hexágono não plano se intersectam num único ponto, logo as perspectivas também, o que demonstra o teorema de Brianchon.

$ \blacksquare$ .






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