Demonstração de Dandelin do Teorema de Pascal
Hexágono não plano


Consideremos no hiperbolóide seis geradores, três directos e três inversos. Estes geradores intersectam-se em nove pontos distintos. Destes, tomamos seis arbitrariamente, de tal modo que não haja mais do que dois colineares. Unindo esses seis pontos por segmentos dos geradores directos e inversos referidos, obtemos um hexágono não plano, como se ilustra na figura seguinte.


Designemos por $ 1,2,3,4,5,6$ os lados desse hexágono não plano (atribuem-se os números ímpares $ 1,3,5$ aos geradores directos e os números pares $ 2,4,6$ aos inversos).

                 

Os lados $ 1$ e $ 2$ intersectam-se num vértice e formam um ângulo designados por $ 12$ e por $ \widehat{\,12\, }$ , respectivamente. Do mesmo modo, com $ 2$ e $ 3$ obtemos o vértice $ 23$ e o ângulo $ \widehat{\,23\, }$ , e assim sucessivamente.

Vamos, agora, introduzir os conceitos de lados e ângulos opostos no hexágono não plano:

  • lados opostos são aqueles que estão separados por dois outros lados, usando a ordem cíclica:

    $\displaystyle 1,2,3,4,5,6$

    Por exemplo, o par $ (1,4)$ ou o par $ (2,5)$
  • ângulos opostos são aqueles que são formados por lados respectivamente opostos. Por exemplo, os ângulos $ \widehat{\,12\, }$ e $ \widehat{\,45\,}$ são opostos, porque $ (1,4)$ e $ (2,5)$ são pares de lados opostos.

Resumindo:

  • Pares de lados opostos

    $\displaystyle (1,4), \ \ \ (2,5), \ \ \ (3,6)$

  • Pares de ângulos opostos:

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}


Teorema 4.4   ...

Num héxagono não plano inscrito num hiperbolóide, os planos dos ângulos opostos intersectam-se dois a dois em três rectas coplanares.




Demonstração ...

Os planos definidos pelos ângulos opostos $ \widehat{\,12\, }$ e $ \widehat{\,45\,}$ intersectam-se na recta que passa por $ 14$ e $ 25$.

Os planos definidos pelos ângulos opostos $ \widehat{\,16\,}$ e $ \widehat{\,43\,}$ intersectam-se na recta que passa por $ 14$ e $ 63$.

Os planos definidos pelos ângulos opostos $ \widehat{\,32\,}$ e $ \widehat{\,65\,}$ intersectam-se na recta que passa por $ 36=63$ e $ 25$.

As três rectas anteriores pertencem claramente ao plano definido pelos três pontos $ 14,25$ e $ 63$ .

$ \blacksquare$.


Hexagrama
inscrito numa cónica


Recorde que um hexagrama inscrito numa cónica $ {\mathscr{C}}$ , consiste de:
1.
seis pontos quaisquer $ 1,2,3,4,5,6$ - os vértices - situados não importa onde sobre a cónica, e
2.
das seis rectas que os unem, - os lados do hexagrama.
Os pares de lados:

$\displaystyle \framebox{$\ \ (12 \ \ \hbox{e} \

dizem-se os pares de lados opostos.
Teorema de Pascal



Teorema 4.5 (Teorema de Pascal) 

Os pontos de intersecção dos pares de lados opostos de um hexagrama inscrito numa cónica, são colineares.

A recta que os contém chama-se recta de Pascal.


Demonstração de Dandelin 








Demonstração [Dandelin] ... Dada uma cónica $ {\mathscr{C}}$, consideremos um hiperbolóide de revolução que a contem como secção plana, e um hexagrama $ 1,2,3,4,5,6$ inscrito em $ {\mathscr{C}}$.

Pelos pontos do hexagrama, com o mesmo algarismo, fazemos passar seis geradores, três directos $ 1,3,5$ e três inversos $ 2,4,6$, formando um hexágono não plano contido no hiperbolóide.

Os planos dos pares de ângulos opostos do hexágono:

$\displaystyle \widehat{\,12\,} \ \ e \ \ \widehat{\,45\,} \ \ \ \ \ \

intersectam o plano da cónica em pares de lados opostos do hexagrama inscrito.

Os pontos de intersecção desses lados, prolongados se necessário, são os pontos $ X,Y,Z$ pertencentes ao plano da cónica dada. Mas, por outro lado, esses mesmos pontos estão também num outro plano - o definido pelo teorema anterior. Portanto $ X,Y,Z$ estão na recta de intersecção do plano do teorema anterior com o plano da secção cónica e são, por isso, colineares.

$ \blacksquare.$