Chamamos elementar (primitivo ou fundamental) a um polígono cujos vértices têm ambas as coordenadas inteiras, mas que não contêm outros pontos com estas características. Vamos ver que:   

Vamos supor que o triângulo tem vértices O, A e B, de coordenadas (0,0), (a,b) e (c,d), respectivamente, e suponhamos que o valor absoluto de a é menor ou igual ao de c, |a|≤|c| . Então, vejamos o que acontece se deslocarmos o ponto B paralelamente ao lado oposto, [OA], uma distância igual ao comprimento deste segmento e na direcção do eixo dos yy: o novo triângulo, [OAC], vai ter a mesma área, uma vez que tem a mesma base e a mesma altura, e vai ser também elementar: Se assim não fosse, e [OAC] contivesse um ponto P de coordenadas inteiras, o paralelograma [OABC] conteria também o ponto simétrico de P em relação ao ponto M, Q, tendo este ponto também coordenadas inteiras (a razão é a seguinte: se xM é a abcissa de M, xA a de A, etc., xM= (xA+xC)/2 e yM= (yA+yC)/2; mas então, por exemplo, também xM= (xP+xQ)/2 e e portanto xQ= xA+xCxP, que é um número inteiro). Como o paralelograma também é simétrico em relação a M, se P não estiver no triângulo [ABC]Q — e nem uma coisa nem outra são possíveis, uma vez que este triângulo é elementar. [Para perceberes melhor este raciocínio, move os pontos A e B no desenho ao lado.]

Findo este procedimento, talvez o valor absoluto da abcissa de C não seja ainda menor que a da de A. Nesse caso, repetimos a construção. Mas se já for menor, é agora A que deslocamos paralelamente ao lado oposto, numa distância igual ao comprimento desse lado e ainda na direcção do eixo dos yy. E prosseguimos dessa maneira, até não o podermos fazer mais — o que vai acontecer quando um dos vértices do triângulo final diferentes de O tiver também abcissa nula — mas não antes!

Suponhamos então que esse vértice, R, por hipótese, tem ordenada i. Então: i=±1, porque de outro modo haveria pelo menos um ponto de coordenadas inteiras no interior do lado [OR]. O triângulo tem base 1, portanto. Suponhamos que o terceiro vértice, S, seja, tem coordenadas (p,q). Também p=±1, pelo que a altura do triângulo é 1. Isto acontece pela seguinte razão: se, por exemplo, p>1, e considerarmos os pontos do triângulo [ORS] com abcissa 1 e ordenada da forma k/p, com k inteiro, há precisamente p pontos destes, para valores de k que são inteiros consecutivos. Um deles terá necessariamente ordenada inteira, sempre! [Para perceberes melhor o raciocínio, move o ponto S no desenho ao lado.]

Podes agora experimentar o procedimento descrito em cima, utilizando os botões e movendo os vértices do triângulo em baixo.

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