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Relatividade Restrita - Uma introdução

	Os ``Paradoxos"

	Um paradoxo é uma aparente inconsistência ou contradição numa teoria. Se o paradoxo não puder ser resolvido de forma satisfatória, a teoria falha e deve ser modificada ou abandonada.

A vara e o celeiro
	Dois camponeses têm um celeiro com comprimento próprio: $\displaystyle L_0=L_{\hbox{\small celeiro}}=2\,m$ no seu referencial de repouso ${\mathscr{R}}$ . Os camponeses estão, um no lado esquerdo e o outro no lado direito do celeiro. As portas estão abertas. Um corredor transporta uma vara com comprimento próprio: $\displaystyle L_0'=L'_{\hbox{\small vara}}=2.5\,m$ no seu referencial de repouso ${\mathscr{R}}'$ . O corredor aproxima-se do celeiro com uma velocidade $\beta={V}/c=0.80$ . O factor de Lorentz é pois igual a: $\displaystyle \framebox{$\,\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=1.68\,$}$ De acordo com a ``contracção" dos comprimentos, os camponeses pensam que a vara tem comprimento: $\displaystyle L_{\hbox{\small vara}}=\frac{(L'_0)_{\hbox{\small vara}}}{\gamma}=\frac{2.5}{1.68}=1.49\,m$ Mas, por outro lado, o corredor pensa que o celeiro tem: $\displaystyle L'_{\hbox{\small celeiro}}=\frac{(L_0)_{\hbox{\small celeiro}}}{\gamma}=\frac{2}{1.68}=1.19\,m$ Portanto: $\blacktriangleright$ No referencial ${\mathscr{R}}$ , de repouso dos camponeses (e do celeiro), tem-se que: $$\displaystyle L_{\hbox{\small vara}}=1.49 < 2=L_{\hbox{\small$ o que significa que, de acordo com os camponeses, a vara cabe dentro do celeiro. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). $\blacktriangleright$ No referencial ${\mathscr{R}}'$ , de repouso do corredor (e da vara), tem-se que: $$\displaystyle L'_{\hbox{\small vara}}=2.5 > 1.19 =L'_{\hbox{\small$ o que significa que, de acordo com o corredor, a vara não cabe dentro do celeiro !! Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Vamos construir um diagrama de Minkowski para esta experiência. Para isso consideremos os acontecimentos seguintes: . a ponta frontal da vara entra no celeiro pela porta da esquerda. . a ponta traseira da vara entra no celeiro pela porta da esquerda. . a ponta frontal da vara sai do celeiro pela porta da direita. . a ponta traseira da vara sai do celeiro pela porta da direita. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Relativamente aos camponeses, no seu referencial de repouso ${\mathscr{R}}$ , a sequência temporal dos acontecimentos é: $\displaystyle A_1\rightarrow A_2\rightarrow A_3 \rightarrow A_4$ uma vez que . Por outro lado, relativamente ao corredor, no seu referencial de repouso ${\mathscr{R}}'$ , a sequência temporal dos mesmos acontecimentos é: $\displaystyle A_1\rightarrow A_3\rightarrow A_2 \rightarrow A_4$ Daí que existe um intervalo de tempo, medido em ${\mathscr{R}}$ , ${T}=t_2-t_1$ em que a vara está completamente dentro do celeiro, o que não acontece quando a experiência é descrita em ${\mathscr{R}}'$ . Aqui, o acontecimento precede , o que significa que a ponta da frente da vara sai do celeiro pela porta da direita antes da ponta traseira entrar pela porta da esquerda. A vara nunca está completamente dentro do celeiro! Não há qualquer paradoxo !! Ambas as descrições são válidas !!

Os gémeos
	A figura seguinte mostra as linhas de universo de duas naves espaciais - ${\mathcal{N}}_1$ , que parte da terra à velocidade $\beta=V/c=0.8$ e ${\mathcal{N}}_2$ que regressa à terra com a mesma velocidade: Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). A linha de universo da terra é o eixo dos e as marcas representam intervalos de um ano. Dez anos passaram na terra entre a partida de ${\mathcal{N}}_1$ e a chegada de ${\mathcal{N}}_2$ . As marcas nas linhas de universo de cada uma das naves representam intervalos de um ano, de acordo com relógios nas naves. Note que elas se encontram a uma distância uma das outras superior à das marcas do eixo dos (linha de universo da terra) por um factor igual a (porquê ?). A nave ${\mathcal{N}}_1$ encontra a nave ${\mathcal{N}}_2$ passados que são 3 anos, de acordo com o seu relógio, desde que partiu da terra. Além disso, passam mais 3 anos até que ${\mathcal{N}}_2$ regressa à terra. Portanto, um astronauta que parte na nave ${\mathcal{N}}_1$ e regressa na nave ${\mathcal{N}}_2$ , envelhece 6 anos, enquanto que os habitantes que entretanto permaneceram na terra envelheceram 10 anos !! Isto é consistente com o facto de que, do ponto de vista dos habitantes da terra, o relógio dos astronautas anda mais devagar por um factor igual a $\gamma^{-1}=\sqrt{1-(0.8)^2}=0.6$ . O applett seguinte ilustra o facto de que, do ponto de vista do astronauta, os relógios da terra andam mais devagar durante a viagem. Quando ele deixa o referencial de ${\mathcal{N}}_1$ ele efectua a leitura dos relógios da terra, traçando a linha de ${\mathcal{N}}_1$ -simultaneidade que passa na linha de universo da nave ${\mathcal{N}}_1$ , no momento em que o relógio desta nave marca 3 anos. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Esta linha ${\mathcal{N}}_1$ -simultaneidade intersecta o eixo dos no ponto anos ( $0.6\times 3$ ). Imediatamente após mudar de nave, para o regresso, o astronauta novamente lê o tempo da terra traçando agora a linha de ${\mathcal{N}}_2$ -simultaneidade que passa no ponto de mudança. Esta linha intersecta o eixo dos no ponto anos. A diferença anos é varrida pela linha de simultaneidade quando o astronauta efectua a mudança da nave ${\mathcal{N}}_1$ para a outra nave ${\mathcal{N}}_2$ !! A análise, do ponto de vista do astronauta, está representada no applett seguinte: Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). As linhas amarelas representam as trajectórias de sinais luminosos emitidos pela terra, um por cada ano terrestre. Quando $\beta=V/c=0.8$ a taxa à qual estes sinais são recebidos pela nave ${\mathcal{N}}_1$ é de: $\displaystyle \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=3\,\hbox{anos}$ enquanto que a taxa à qual são recebidos pela nave ${\mathcal{N}}_2$ é de: $\displaystyle \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}=1/3\,\hbox{anos}$ como se viu quando estudamos o efeito Doppler. Portanto a nave ${\mathcal{N}}_1$ vê um flash em cada 3 anos e a nave ${\mathcal{N}}_2$ vê 3 flashes por ano. Por outro lado, no applett seguinte as linhas amarelas representam as trajectórias de sinais luminosos emitidos pelo astronauta, um por ano. Na terra eles são vistos com a mesma frequência - cada 3 anos para os que são emitidos pela nave ${\mathcal{N}}_1$ e cada de ano quando são emitidos por ${\mathcal{N}}_2$ . Os habitantes da terra levam 9 anos para ver 3 sinais de ${\mathcal{N}}_1$ e apenas 1 ano para para ver os restante 3 sinais de ${\mathcal{N}}_2$ . Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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