Relatividade Restrita - Uma introdução

Diagramas de Minskowski




Uma partícula que percorre o eixo dos $ xx$ com velocidade constante $ { \beta}=V/c$ , será representada pela sua linha de universo que, neste caso, é a recta:

$\displaystyle x=Vt=\frac{V}{c}\, (ct)={ \beta}w, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ { \beta}=V/c $
num sistema de eixos $ (x,w=ct)$ .

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Vejamos agora como se representa o referencial $ {\mathscr{R}}'$ , no diagrama de Minskowski do referencial $ {\mathscr{R}}$. O referencial $ {\mathscr{R}}'$ , desloca-se com velocidade constante $ V$ relativamente ao referencial $ {\mathscr{R}}$ .


No applett anterior, a recta $ x={ \beta}(ct)={ \beta}w$ é a linha de universo do relógio do observador $ {\mathscr{R}}'$ . Como todos os acontecimentos nesta linha de universo ocorrem em $ x'=0$ , esta linha pode ser tomada como o eixo dos $ ct'$ .


Para calibrar este eixo, desenhamos um ramo da hipérbole $ c^2t^2-x^2=1$ . Pontos nesta curva devem satisfazer também a equação $ c^2t'^2-x'^2=1$, por invariância do intervalo. Portanto, a intersecção desta hipérbole com o eixo dos $ ct'$ (ao longo do qual $ x'=0$ ) é o ponto $ x'=0, ct'=1$ . Esta intersecção dá pois a unidade de medida ao longo do eixo $ ct'$ .

Como se traça o eixo $ x'$ ? Ele consiste de todos os acontecimentos para os quais $ t'=0$ . Substituindo em (45):

$\displaystyle t'=\gamma\cdot\left(t-\frac{V}{c^2}\, x\right)$
obtemos:

$\displaystyle 0=\gamma\cdot\left(t-\frac{V}{c^2}\, x\right) \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ t-\frac{V}{c^2}\, x=0 $
Isto é:

$\displaystyle ct=\beta x$
é a equação do eixo $ x'$ (note que ele tem a mesma inclinação relativamente ao eixo dos $ x's$ , que o eixo $ ct'$ tem relativamente ao eixo dos $ ct's$ .

Traçando a hipérbole $ c^2t^2-x^2=-1$ , calibramos o eixo dos $ x'$ exactamente com a mesma unidade do eixo dos $ ct'$ .



Comprimento próprio
Definimos o comprimento próprio de um objecto, num dado referencial $ {\mathscr{R}}$ , como sendo a separação espacial entre os acontecimentos que representam as respectivas extremidades, medidas simultâneamente, isto é, os dois acontecimentos devem estar numa mesma linha de simultaneidade do referencial $ {\mathscr{R}}$.

O comprimento próprio é pois o comprimento medido no referencial de repouso do objecto. É o maior comprimento medido por um observador. Qualquer outro observador mede um comprimento menor.


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Note que não se afirma que qualquer objecto se contrai fisicamente, quando se move. A medição é menor porque os observadores não têm a mesma noção de simultaneidade. Portanto, apesar de ser usual o termo de "contracção dos comprimentos", o que de facto acontece é um desacordo àcerca da noção de simultaneidade e não uma contracção física dos objectos.





Intervalo de tempo próprio
O intervalo de tempo próprio entre dois acontecimentos, medido relativamente a um referencial $ {\mathscr{R}}$ , define-se como sendo a separação temporal dos dois acontecimentos, medida num relógio em repouso relativamente a esses acontecimentos. Portanto, os dois acontecimentos têm lugar no mesmo sítio, de acordo com o observador que transporta o referido relógio. 

Consideremos agora um sistema em repouso, relativamente a um observador $ {\mathscr{R}}$ , e que tem um tempo finito de vida:

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O tempo próprio deste sistema é a separação temporal $ \Delta t$ entre os acontecimentos $ N$ (Nascimento) e $ M$ (Morte), medida por um relógio em repouso relativamente ao referido sistema.

Como pode ser visto no applett, a separação temporal relativamente a um observador $ {\mathscr{R}}'$ é igual a:

$\displaystyle \Delta t'=\gamma\cdot \Delta t$

Portanto o tempo próprio é o menor tempo medido.






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