Os célebres resultados de S.Newhouse ([N]) mostram que a bifurcação de uma tangência homoclínica asociada a uma sela numa superfície gera tangências homoclínicas robustas (isto é, tangências homoclínicas que persistem por pequenas perturbações) associadas a um conjunto hiperbólico especial chamado ferradura espessa. Além disso, a continuação (hiperbólica) da sela inicial está contida nesse conjunto hiperbólico. Neste caso diz-se que a tangência pode ser estabilizada, ou seja, perturbações arbitrariamente pequenas da tangência homoclínica associada a uma sela geram ferraduras espessas (com tangências homoclínicas) contendo a continuação da sela inicial.

No contexto de ciclos (heterodimensionais), Ch.Bonatti, L.J.Díaz e S. Kiriki,  em [BD,BDK], mostraram que os ciclos associados a um par de selas (em dimensão ao menos três) podem ser estabilizados, isto é, perturbações arbitrariamente pequenas do ciclo inicial (associado a selas) geram ciclos robustos contendo as continuações das selas iniciais.

Nos resultados citados, a regularidade da topologia desempenha um papel fundamental: a construção em [N] aplica em topologias de classe pelo menos C^2 e os resultado [BD,BDK] aplicam-se na C1-topologia. Limitações  técnicas impedem-nos de adaptar diretamente os trabalhos [N] ao caso C^1 nem [BD,BDK] ao caso C^r com r>1. Neste seminário discutiremos o problema de estabilização de ciclos em dimensão 3 na C^r-topologia com r>1.

[N]: S. Newhouse, The abundance of wild hyperbolic sets and nonsmooth stable sets for diffeomorphisms, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci.,  50, 101–151, (1979).

[BD]: Ch. Bonatti and L. J. DÍaz, Robust heterodimensional cycles and C1-generic dynamics, Journal of the Inst. of Math. Jussieu, 7(3) (2008), 469–525.

[BDK]: C. Bonatti, L. J. Díaz, and S. Kiriki, Stabilization of heterodimensional cycles, Nonlinearity, 25 (2012), p. 931.