Provamos que qualquer transformação $C^{1+}$, possivelmente com uma região crítica ou singular não degenerada, admite uma medida absolutamente contínua com respeito a qualquer medida expansora dada, desde que esta medida satisfaça uma condição moderada de distorção. Esta é uma extensão para qualquer dimensão do famoso teorema de Keller para aplicações do intervalo com Schwarziana negativa.

Além disto, mostramos como construir uma aplicação Markoviana induzida adaptada a qualquer probabilidade expansora invariante, resolvendo assim o ``problema do levantamento'' para medidas expansoras. Em particular, quando $f$ é um difeomorfismo local provamos que existe uma aplicação Markoviana induzida $F$ tal que toda medida $f$ invariante com somente expoentes de Lyapunov positivos pode ser levantada a uma medida $F$ invariante.