Nos últimos anos tem havido muito desenvolvimento na área de monóides profinitos livres, principalmente devido ao trabalho de Almeida, Rhodes, Volkov e do orador, entre outros. Nessa palestra falaremos das resoluções dos problemas antigos seguintes:

1. É verdade que qualquer elemento de ordem finita num monóide profinito livre é um idempotente?

2. É verdade que um subgrupo fechado de um monóide profinito livre é um grupo profinito projectivo?

3. É verdade que o subgrupo máximo do ideal mínimo de um monóide profinito livre é um grupo profinito livre?

Parte desse trabalho foi feito em conjunto com Rhodes.