O Teorema de Banach-Tarski: Paradoxo ou Ilusão?
O Axioma da Escolha: status quo, defesa e crítica

O Axioma da Escolha formaliza um princípio que parece impor-se como uma evidência: dada uma colecção de conjuntos não-vazios e dois a dois disjuntos, posso formar um conjunto escolhendo um e um só elemento em cada um dos conjuntos dados...Mas o infinito matemático tem coisas estranhas e exóticas (como qualquer bom sonho, ou o pior dos pesadelos) e da aplicação deste princípio de escolha nos domínios do Infinito emergem questões inesperadas...
Na verdade o Axioma da Escolha foi, logo a partir da sua formulação e uso por Zermelo (na prova de que todo o conjunto é bem-ordenável), alvo de contestação - nomeadamente por Poincaré e pelos pais da moderna teoria da integração, Baire, Borel e Lebesgue, entre outros. Isso não impediu que o seu uso, na prática corrente da matemática, se viesse a tornar "institucional": são muitos os resultados e noções de matemática que são centrais a certas áreas e que dele dependem (ou são mesmo equivalentes a ele); de tal forma que muitos vezes essa dependência nem chega a ser apreciada, ou sublinhada (e.g., sem a forma numerável da escolha, os reais e a análise como os conhecemos - como o ar que respiramos! - não existiriam).
Em 1924, Banach e Tarski provaram, usando o axioma da escolha, um teorema surpreendente: é possível decompor uma esfera tridimensional num número finito de partes disjuntas (uma partição) e rearranjar essas peças por movimentos rígidos (i.e., por isometrias do espaço euclidiano) de forma a (re)construir duas (ou depois por repetição n) esferas do tamanho da esfera dada, ou, ainda mais radical, uma esfera do tamanho do Sol! É a este teorema que se chama usualmente, e por razões mais que óbvias, o Paradoxo de Banach-Tarski. Este Paradoxo tem sido usado como evidência para recusar, ou pelo menos contestar, a validade do Axioma da Escolha.
Faremos uma curta análise crítica do estatuto do Axioma da Escolha e sua defesa em face do teorema de Banach-Tarski e de outros resultados matemáticos que nos aparecem também como paradoxais.