CÓNICAS Velhas Questões - Novas Abordagens

Rosa Ribeiro Céu Silva         CMUP - DMPUP                                                             2004/05/19

 

Na Grécia Antiga
as cónicas eram obtidas seccionando um cone por um plano.

Na teoria de Menecmo
são utilizados cones rectos
e os planos de secção são perpendiculares a uma
geratriz.

De acordo com o
ângulo no vértice
do cone assim a cónica obtida é:

 

oxitomo (ângulo, no vértice do cone, agudo)
ortotomo (ângulo, no vértice do cone, recto)
amblitomo (ângulo, no vértice do cone, obtuso)

 

Apolónio estudou as
cónicas numa perspectiva que se aproxima da actual.

Apolónio utiliza
cones de base circular de
duas folhas e planos de
secção que intersectam a base do cone segundo rectas perpendiculares ao
triângulo axial.

 

Conforme  posição
relativa do plano secante e do triângulo axial assim:

 

elipse (plano secante intersecta os dois lados do triângulo axial não pertencentes à base do cone)
parábola (plano secante é paralelo a um lado do triângulo axial não pertencente à base do cone)
hipérbole (plano secante intersecta um lado e o prolongamento do outro do triângulo axial, não pertencentes à base do cone)

 

Para cada cónica
indicou um sintoma
(propriedade característica da cónica) que envolve elementos dos três planos
intervenientes na obtenção da cónica:

 

• o plano da base do cone

• o plano de secção

• o plano do
  triângulo axial

 

Sintoma da
parábola

"Se um cone é cortado por um plano
que passa pelo eixo e por um outro plano que corta a base do cone segundo uma
recta perpendicular à base do triângulo passando pelo eixo; se, além disso, o
diâmetro da secção é paralelo a um dos lados do triângulo que passa pelo eixo, o
quadrado de qualquer recta conduzida da secção do cone paralelamente à secção
comum do plano secante e da base do cone até ao diâmetro da secção equivale ao
rectângulo delimitado pela recta que ela corta sobre o diâmetro, do lado do
vértice da secção, e por uma certa recta cuja razão para a recta situada entre o
ângulo do cone e o vértice da secção é a mesma que a do quadrado da base do
triângulo passando pelo eixo para a do rectângulo delimitado pelos dois outros
lados do triângulo. Chamaremos tal secção uma parábola"
(Ver Eecke, Les Coniques d’Apollonius de
Perge, p.21).

 

 

A propriedade
definidora da parábola pode traduzir-se pela relação

      
com          

• H
  é o vértice da parábola
  - ponto de intersecção do plano de secção com o lado do
  triângulo axial

• HO
  é o eixo da parábola
  - recta definida pelo vértice da parábola e pelo ponto de intersecção do plano
  de secção com a base do triângulo axial - latus transversum

• K
  é um ponto qualquer da curva e
  G
  é o seu projectado ortogonal sobre o eixo da parábola

• HT
  é o latus erectum - latus rectum -
  parâmetro

       

 

(Apolónio,
Cónicas, III, 2- 4, manuscrito de 1536  feito para o Papa Paulo III)

 

 

As
páginas acima dizem respeito à
igualdade de áreas de triângulos e
quadriláteros formados por tangentes e diâmetros das cónicas e por tangentes e
paralelas às tangentes.

 

 

Apolónio, Cónicas, I, 42

Quando uma recta

(t)
tangente a uma parábola encontra um diâmetro

(em D)
se do ponto de contacto

(T)
baixarmos um recta

(r)
de modo ordenado sobre o diâmetro e se de um ponto

(X)
qualquer da secção tirarmos uma recta paralela à tangente

(t')
e outra

(r')
paralela à recta baixada do ponto de contacto, a área do triângulo formado por
estas duas últimas rectas é igual à área do paralelogramo compreendido entre

a recta baixada do ponto de contacto
e a recta

(r')
que corta a paralela a essa, pelo vértice da secção.

(trad. Paul ver EecKe)

 

 

Por t  ser tangente à parábola e TE ser "conduzida de modo ordenado" é VD=DE
logo ED=2VE, portanto

área TED = área VETA

Por serem T e X pontos da parábola é TE²=2pVE
e CX²=2pVC,
portanto

Como

           
       
  ^e      

vem

logo

Como

Conclui-se que

 

 

 

Apolónio, Cónicas, III, 1

Quando rectas tangentes

(BD e CE)

a uma secção do cone [ou
a uma circunferência do círculo] se encontram, e se, pelos seus pontos de
contacto
(B e E)
traçarmos diâmetros
(BC e ED)

encontrando as tangentes
(em C e D), os triângulos assim
obtidos
(CAB e EAD),  dispostos segundo o respectivo vértice

(A), são iguais.

 

 

BZ

 // CE

logo BZEC é um paralelogramo de área
igual à de BDZ pois DZ=2EZ (Cónicas, I,35)

Retirando ao triângulo
BDZ e ao paralelogramo BZEC o
quadrilátero comum BZEA, conclui-se que

CAB e EAD

 

 

latus erectum

O
latus erectum,
era um segmento obtido por um processo de


aplicação de áreas
dado por uma expressão dependente do triângulo axial e do vértice da parábola,
do seguinte modo:

 

                                                        

Como interpretar
geometricamente o
latus erectum?



Em finais do século XVII, Jacques Bernoulli deduziu um processo simples de
reconhecer geometricamente, no cone gerador, um segmento de comprimento igual ao
do parâmetro, tomando como suporte a definição de parábola dada por Apolónio
(Apolónio, Conicas, Livro I,
proposição XI).

 

(Jacques
Bernoulli, finais do séc. XVII, Obra completa, vol. I, pp. 45 e 46)

 

Novum Theorema
Pro Doctrina Sectionum Conicarum

"Tomando um plano paralelo à base de
um cone e situado à mesma distância do seu vértice que o plano da secção cónica,
este plano intersectará o cone segundo um círculo cujo diâmetro será o latus
rectum da cónica".

 

Parábola - Esboço
da demonstração

^

s -
plano da base do cone        
a -
plano de secção        ACD -
triângulo axial       

 HO o eixo da parábola        AI
^ s
        
AB
^ HO      

Tomemos N
em AI,  tal que

 Seja
b um plano paralelo a
s
passando por N. O plano
b intersecta o
triângulo axial ACD nos pontos F e E, que são as extremidades do diâmetro do
círculo produzido na superfície cónica pelo plano
b.

Mostraremos que FE é o latus
rectum.

 LA
//
CD, com LÎHO; 
HX //
CD, com XÎAD

•  ABL
  @
  ANE (AB=NA,
  const., ÐABL=
  ÐANE
  = 90, ÐLAB=ÐEAN,
  pq ÐLAB=
  ÐLAN
  - ÐBAN
  =ÐEAB
  - ÐNAB=ÐEAN).
  Logo
  LA = AE.

• 
  HXAL é um paralelogramo
  (pq HX//LA
  e HL//XA).
  Logo HX=LA.

Donde, LA=AE e HX=LA, portanto
HX=AE.

AHX
»
AFE »
ACD (ângulos iguais cada um a cada
um), vem

  
          
         

 

                                                                    
   (2)                       
(3)                        (4)

 

De  (2) e HX=AE
vem

De

e HX = AE resulta

Logo

HT=FE

 

"Apolónio e os geómetras que
escreveram depois dele, deram diferentes expressões geométricas, tomadas no
cone, do comprimento do latus rectum, para cada secção, mas nenhuma nos
pareceu tão simples e tão elegante como a de Jacques Bernoulli."
(Chasles, Aperçu Historique des Méthodes
en Géométrie, p.19)

 

http://perso.wanadoo.fr/alta.mathematica/apollonius.html

 

Bibliografia

 

• 
  Bernoulli, Jacques. Obra completa, vol I, Lips, 1699.

• Chasles, M. Aperçu Historique sur
  l’Origine et le Développement  des Méthodes en Géométrie. Paris, Gauthier-Villars
  et Fils, Imprimeurs-Libraires, 1889.

• Eves, H. Introdução à História da Matemática -
  trad. Hygino H. Domingues. Campinas, S.P.: Editora da UniCamp, 1995.

• Heath, T. Apollonius of Perga –
  Treatise on Conic Sections. Cambridge: at the University Press, 1896.

• Katz, V. A History of Mathematics:
  An Introduction. New York: Harper Collins College Publishers, 1993.

• Veloso, E. Geometria, Temas Actuais. Lisboa:
  Instituto de Inovação Educacional, 1998.

• Veloso, E, H. Fonseca, J. P. Ponte e P. Abrantes.
  Ensino da Geometria no virar do milénio. Departamento de Educação da
  Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1999.

• 
  
  

  
  Ver Eecke, P. Les Coniques d’Apollonius de
  Perge-Oeuvres traduites pour la Première fois du grec en français, avec une
  introdution et des notes. Bruges, Desclée, de Brouwer et C., 1923.